Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 16}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \div \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 18 x + 80}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 16}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 8} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8$ heraus.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} - 6 x + 8)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x ((x - 4) (x - 2))} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 10^{2}} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{x + 4}{x (x - 2)}$ mit $\frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)}$ .

$\frac{(x + 4) (2 - x)}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - x$ und $x - 2$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2) - x)}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2) - (x))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2 + x))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 5.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 4) (- 1 (x - 2))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) (- 1 (x - 2))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 5.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 4) \cdot (- 1)}{x ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Forme um.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 6.2

Forme um.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x^{1} ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 6.4

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x + 4$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + 4)}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 8

Faktorisiere $x^{2} + 18 x + 80$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $80$ und deren Summe $18$ ist.

$8, 10$

Schritt 8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x^{2} + 12 x + 32}$

Schritt 9

Faktorisiere $x^{2} + 12 x + 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $32$ und deren Summe $12$ ist.

$4, 8$

Schritt 9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 10.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)}$ in den Zähler.

$\frac{- (x + 4)}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $x + 4$ aus $- (x + 4)$ heraus.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Schritt 10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Schritt 10.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 8}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $x + 10$ aus $x (x + 10) (x - 10)$ heraus.

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 8}$

Schritt 10.2.2

Faktorisiere $x + 10$ aus $(x + 8) (x + 10)$ heraus.

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 10) (x + 8)}{x + 8}$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 10) (x + 8)}{x + 8}$

Schritt 10.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x (x - 10)} \cdot \frac{x + 8}{x + 8}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{x (x - 10)}$ mit $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{- (x + 8)}{x (x - 10) (x + 8)}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 8$ .

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Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- (x + 8)}{x (x - 10) (x + 8)}$

Schritt 10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x (x - 10)}$

Schritt 10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x (x - 10)}$