Algebra Beispiele

$f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ als Gleichung.

$y = - \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{2 y}{y - 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache $(y - 1) (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 1 x = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y x - x = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 y}{y - 1}$ in den Zähler.

$y x - x = \frac{- 2 y}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - x = \frac{- 2 y}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y x - x = - 2 y$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - x + 2 y = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x + 2 y = x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + 2 y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) + 2 y = x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y (x) + y \cdot 2 = x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot 2$ heraus.

$y (x + 2) = x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 2) = x$ durch $x + 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 2) = x$ durch $x + 2$ .

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{x + 2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- \frac{2 x}{x - 1}}{(- \frac{2 x}{x - 1}) + 2}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2 x}{x - 1} + 2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{- 2 x + 2 (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.3

Schreibe $\frac{- 2 x + 2 (x - 1)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 2 (x - 1)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (- x) + 2 (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (- x + x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.3.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot - 1}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{- 2}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{1}{\frac{2}{x - 1}})$

Schritt 5.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- (1 (\frac{x - 1}{2})))$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{x - 1}{2})$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{x - 1}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- 2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{x - 1}{2})$

Schritt 5.2.8.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x - 1}{2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- 2 x}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Schritt 5.2.8.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{2 (- x)}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Schritt 5.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{2 (- x)}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Schritt 5.2.8.5

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot (- (x - 1))$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $- (x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot - 1)$

Schritt 5.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot - 1)$

Schritt 5.2.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - x \cdot - 1$

Schritt 5.2.10

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = 1 x$

Schritt 5.2.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{x + 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{2 (\frac{x}{x + 2})}{(\frac{x}{x + 2}) - 1}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} - 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} - 1 \cdot \frac{x + 2}{x + 2}}$

Schritt 5.3.4.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} + \frac{- (x + 2)}{x + 2}}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - (x + 2)}{x + 2}}$

Schritt 5.3.4.4

Schreibe $\frac{x - (x + 2)}{x + 2}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x - 1 \cdot 2}{x + 2}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x - 2}{x + 2}}$

Schritt 5.3.4.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{0 - 2}{x + 2}}$

Schritt 5.3.4.4.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{- 2}{x + 2}}$

Schritt 5.3.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{- \frac{2}{x + 2}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 x}{x + 2} \cdot (- \frac{x + 2}{2}))$

Schritt 5.3.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (- \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{x + 2}$ in den Zähler.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- 2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Schritt 5.3.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 (- x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Schritt 5.3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 (- x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Schritt 5.3.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- x}{x + 2} \cdot (x + 2))$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- x}{x + 2} \cdot (x + 2))$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{x + 2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$