Algebra Beispiele

$\log_{9} (\frac{10}{2 x}) = \log_{9} (2 x - 3)$

Schritt 1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{10}{2 x} = 2 x - 3$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{10}{2 x}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 x} = 2 x - 3$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (x)} = 2 x - 3$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 x} = 2 x - 3$

Schritt 2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{x} = 2 x - 3$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{x} = 2 x - 3$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{x} = 2 x - 3$ mit $x$ .

$\frac{5}{x} x = 2 x \cdot x - 3 x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{x} x = 2 x \cdot x - 3 x$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 = 2 x \cdot x - 3 x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bewege $x$ .

$5 = 2 (x \cdot x) - 3 x$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 = 2 x^{2} - 3 x$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} - 3 x = 5$ um.

$2 x^{2} - 3 x = 5$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.4.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 2.4.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.3.1.2

Schreibe $- 3$ um als $2$ plus $- 5$

$2 x^{2} + (2 - 5) x - 5 = 0$

Schritt 2.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (x + 1) - 5 (x + 1) = 0$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 5) = 0$

Schritt 2.4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4.6

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.6.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.6.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 2.4.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (2 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{5}{2}$

Schritt 3

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{9} (\frac{10}{2 x}) = \log_{9} (2 x - 3)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$x = 2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2 \frac{1}{2}$