Algebra Beispiele

$x - y = 9$ $7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

Schritt 1

Stelle $x - y = 9$ graphisch dar.

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Schritt 1.1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = 9 - x$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = 9 - x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 9 - x$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{9}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{9}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividiere $9$ durch $- 1$ .

$y = - 9 + \frac{- x}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - 9 + \frac{x}{1}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = - 9 + x$

Schritt 1.2

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.2.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2.2

Stelle $- 9$ und $x$ um.

$y = x - 9$

Schritt 1.3

Benutze die Normalform, um die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln.

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Schritt 1.3.1

Ermittle die Werte von $m$ und $b$ unter Anwendung der Form $y = m x + b$ .

$m = 1$

$b = - 9$

Schritt 1.3.2

Die Steigung der Geraden ist der Wert von $m$ und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Wert von $b$ .

Steigung: $1$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, - 9)$

Steigung: $1$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, - 9)$

Schritt 1.4

Jede Gerade kann mittels zweier Punkte gezeichnet werden. Wähle zwei $x$ -Werte und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu finden.

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Schritt 1.4.1

Stelle $- 9$ und $x$ um.

$y = x - 9$

Schritt 1.4.2

Erstelle eine Tabelle mit den $x$ - und $y$ -Werten.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 9 \\ 1 & - 8 \end{array}$

Schritt 1.5

Zeichne die Gerade mittels der Steigung und der y-Achsenabschnitte oder der Punkte.

Steigung: $1$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, - 9)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 9 \\ 1 & - 8 \end{array}$

Steigung: $1$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, - 9)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 9 \\ 1 & - 8 \end{array}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften des Kegelschnitts $7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 y^{2} - 24 y$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 0$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 12}{3}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$d = - 4$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 0 - \frac{576}{12}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 48$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$e = 0 - 48$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Subtrahiere $48$ von $0$ .

$e = - 48$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ ein.

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$

Schritt 2.1.2

Setze $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ für $3 y^{2} - 24 y$ ein in der Gleichung $7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$ .

$7 x^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} - 48 = 139$

Schritt 2.1.3

Bringe $- 48$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $48$ auf beiden Seiten.

$7 x^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 139 + 48$

Schritt 2.1.4

Addiere $139$ und $48$ .

$7 x^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 187$

Schritt 2.1.5

Teile jeden Term durch $187$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{7 x^{2}}{187} + \frac{3 {(y - 4)}^{2}}{187} = \frac{187}{187}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{\frac{187}{7}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{\frac{187}{3}} = 1$

Schritt 2.2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 2.3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \frac{\sqrt{561}}{3}$

$b = \frac{\sqrt{1309}}{7}$

$k = 4$

$h = 0$

Schritt 2.4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 4)$

Schritt 2.5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 2.5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{561}}{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{561}}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{561}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Schreibe ${\sqrt{561}}^{2}$ als $561$ um.

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Schritt 2.5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{561}$ als $561^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(561^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{561^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{561^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{561^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{561^{1}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{561}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{561}{9} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $561$ und $9$ .

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Schritt 2.5.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $561$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 (187)}{9} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 187}{3 \cdot 3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 187}{3 \cdot 3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{187}{3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{1309}}{7}$ an.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{{\sqrt{1309}}^{2}}{7^{2}}}$

Schritt 2.5.3.6

Schreibe ${\sqrt{1309}}^{2}$ als $1309$ um.

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Schritt 2.5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1309}$ als $1309^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{{(1309^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7^{2}}}$

Schritt 2.5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7^{2}}}$

Schritt 2.5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}}$

Schritt 2.5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}}$

Schritt 2.5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{1}}{7^{2}}}$

Schritt 2.5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309}{7^{2}}}$

Schritt 2.5.3.7

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309}{49}}$

Schritt 2.5.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1309$ und $49$ .

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Schritt 2.5.3.8.1

Faktorisiere $7$ aus $1309$ heraus.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 (187)}{49}}$

Schritt 2.5.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.8.2.1

Faktorisiere $7$ aus $49$ heraus.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 \cdot 187}{7 \cdot 7}}$

Schritt 2.5.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 \cdot 187}{7 \cdot 7}}$

Schritt 2.5.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{187}{7}}$

Schritt 2.5.3.9

Um $\frac{187}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\sqrt{\frac{187}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{187}{7}}$

Schritt 2.5.3.10

Um $- \frac{187}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{187}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 2.5.3.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $21$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.5.3.11.1

Mutltipliziere $\frac{187}{3}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 2.5.3.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 2.5.3.11.3

Mutltipliziere $\frac{187}{7}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187 \cdot 3}{7 \cdot 3}}$

Schritt 2.5.3.11.4

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187 \cdot 3}{21}}$

Schritt 2.5.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7 - 187 \cdot 3}{21}}$

Schritt 2.5.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.3.13.1

Mutltipliziere $187$ mit $7$ .

$\sqrt{\frac{1309 - 187 \cdot 3}{21}}$

Schritt 2.5.3.13.2

Mutltipliziere $- 187$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{1309 - 561}{21}}$

Schritt 2.5.3.13.3

Subtrahiere $561$ von $1309$ .

$\sqrt{\frac{748}{21}}$

Schritt 2.5.3.14

Schreibe $\sqrt{\frac{748}{21}}$ als $\frac{\sqrt{748}}{\sqrt{21}}$ um.

$\frac{\sqrt{748}}{\sqrt{21}}$

Schritt 2.5.3.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.3.15.1

Schreibe $748$ als $2^{2} \cdot 187$ um.

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Schritt 2.5.3.15.1.1

Faktorisiere $4$ aus $748$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (187)}}{\sqrt{21}}$

Schritt 2.5.3.15.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 187}}{\sqrt{21}}$

Schritt 2.5.3.15.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}}$

Schritt 2.5.3.16

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}}$ mit $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Schritt 2.5.3.17

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.3.17.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}}$ mit $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 2.5.3.17.2

Potenziere $\sqrt{21}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}}$

Schritt 2.5.3.17.3

Potenziere $\sqrt{21}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}}$

Schritt 2.5.3.17.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.3.17.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Schritt 2.5.3.17.6

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

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Schritt 2.5.3.17.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.17.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.3.17.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.3.17.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.3.17.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.3.17.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{1}}$

Schritt 2.5.3.17.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21}$

Schritt 2.5.3.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.3.18.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{21 \cdot 187}}{21}$

Schritt 2.5.3.18.2

Mutltipliziere $21$ mit $187$ .

$\frac{2 \sqrt{3927}}{21}$

Schritt 2.6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 2.6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 4 + \frac{\sqrt{561}}{3})$

Schritt 2.6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 2.6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 4 - (\frac{\sqrt{561}}{3}))$

Schritt 2.6.5

Vereinfache.

$(0, 4 - \frac{\sqrt{561}}{3})$

Schritt 2.6.6

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{\sqrt{561}}{3})$

Schritt 2.7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 2.7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 2.7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 4 + \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

Schritt 2.7.3

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 2.7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 4 - (\frac{2 \sqrt{3927}}{21}))$

Schritt 2.7.5

Vereinfache.

$(0, 4 - \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

Schritt 2.7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

Schritt 2.8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 2.8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 2.8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{561}}{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}}{\frac{\sqrt{561}}{3}}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache.

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Schritt 2.8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{561}}{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{561}}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{561}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.3

Schreibe ${\sqrt{561}}^{2}$ als $561$ um.

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Schritt 2.8.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{561}$ als $561^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(561^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{561^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{561^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{561^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{561^{1}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{561}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{561}{9} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $561$ und $9$ .

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Schritt 2.8.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $561$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 (187)}{9} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 187}{3 \cdot 3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 187}{3 \cdot 3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{187}{3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{1309}}{7}$ an.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{{\sqrt{1309}}^{2}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.7

Schreibe ${\sqrt{1309}}^{2}$ als $1309$ um.

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Schritt 2.8.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1309}$ als $1309^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{{(1309^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{1}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.8

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309}{49}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1309$ und $49$ .

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Schritt 2.8.3.9.1

Faktorisiere $7$ aus $1309$ heraus.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 (187)}{49}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.3.9.2.1

Faktorisiere $7$ aus $49$ heraus.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 \cdot 187}{7 \cdot 7}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 \cdot 187}{7 \cdot 7}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{187}{7}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.10

Um $\frac{187}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\sqrt{\frac{187}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{187}{7}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.11

Um $- \frac{187}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{187}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.12

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $21$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.8.3.12.1

Mutltipliziere $\frac{187}{3}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.12.3

Mutltipliziere $\frac{187}{7}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187 \cdot 3}{7 \cdot 3}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.12.4

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187 \cdot 3}{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7 - 187 \cdot 3}{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.3.14.1

Mutltipliziere $187$ mit $7$ .

$\sqrt{\frac{1309 - 187 \cdot 3}{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.14.2

Mutltipliziere $- 187$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{1309 - 561}{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.14.3

Subtrahiere $561$ von $1309$ .

$\sqrt{\frac{748}{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.15

Schreibe $\sqrt{\frac{748}{21}}$ als $\frac{\sqrt{748}}{\sqrt{21}}$ um.

$\frac{\sqrt{748}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.3.16.1

Schreibe $748$ als $2^{2} \cdot 187$ um.

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Schritt 2.8.3.16.1.1

Faktorisiere $4$ aus $748$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (187)}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.16.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 187}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.16.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.17

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}}$ mit $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.8.3.18.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}}$ mit $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18.2

Potenziere $\sqrt{21}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18.3

Potenziere $\sqrt{21}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18.6

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

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Schritt 2.8.3.18.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.3.18.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.18.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.8.3.19.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{3 (7)} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{3 \cdot 7} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{7} \cdot \frac{1}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.20

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{21 \cdot 187}}{7} \cdot \frac{1}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.21

Mutltipliziere $21$ mit $187$ .

$\frac{2 \sqrt{3927}}{7} \cdot \frac{1}{\sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.22

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3927}}{7}$ mit $\frac{1}{\sqrt{561}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3927}}{7 \sqrt{561}}$

Schritt 2.8.3.23

Vereinige $\sqrt{3927}$ und $\sqrt{561}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\frac{2 \sqrt{\frac{3927}{561}}}{7}$

Schritt 2.8.3.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3927$ und $561$ .

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Schritt 2.8.3.24.1

Faktorisiere $561$ aus $3927$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{\frac{561 \cdot 7}{561}}}{7}$

Schritt 2.8.3.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.3.24.2.1

Faktorisiere $561$ aus $561$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{\frac{561 \cdot 7}{561 (1)}}}{7}$

Schritt 2.8.3.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{\frac{561 \cdot 7}{561 \cdot 1}}}{7}$

Schritt 2.8.3.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{\frac{7}{1}}}{7}$

Schritt 2.8.3.24.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 2.9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

Exzentrizität: $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Mittelpunkt: $(0, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

Exzentrizität: $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 3

Stelle jeden Graphen im gleichen Koordinatensystem dar.

$x - y = 9$

$7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

Schritt 4