Algebra Beispiele

$- 4 x^{5} + 14 x^{4} + 16 x^{3} - 56 x^{2} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 4 x^{5} + 14 x^{4} + 16 x^{3} - 56 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 4 x^{5}$ heraus.

$2 x^{2} (- 2 x^{3}) + 14 x^{4} + 16 x^{3} - 56 x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $14 x^{4}$ heraus.

$2 x^{2} (- 2 x^{3}) + 2 x^{2} (7 x^{2}) + 16 x^{3} - 56 x^{2} = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $16 x^{3}$ heraus.

$2 x^{2} (- 2 x^{3}) + 2 x^{2} (7 x^{2}) + 2 x^{2} (8 x) - 56 x^{2} = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 56 x^{2}$ heraus.

$2 x^{2} (- 2 x^{3}) + 2 x^{2} (7 x^{2}) + 2 x^{2} (8 x) + 2 x^{2} (- 28) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (- 2 x^{3}) + 2 x^{2} (7 x^{2})$ heraus.

$2 x^{2} (- 2 x^{3} + 7 x^{2}) + 2 x^{2} (8 x) + 2 x^{2} (- 28) = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (- 2 x^{3} + 7 x^{2}) + 2 x^{2} (8 x)$ heraus.

$2 x^{2} (- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 8 x) + 2 x^{2} (- 28) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 8 x) + 2 x^{2} (- 28)$ heraus.

$2 x^{2} (- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 8 x - 28) = 0$

Schritt 2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 x^{2} ((- 2 x^{3} + 7 x^{2}) + 8 x - 28) = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x^{2} (x^{2} (- 2 x + 7) - 4 (- 2 x + 7)) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 x + 7$ .

$2 x^{2} ((- 2 x + 7) (x^{2} - 4)) = 0$

Schritt 4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 x^{2} ((- 2 x + 7) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Faktorisiere.

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Schritt 5.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$2 x^{2} ((- 2 x + 7) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Schritt 5.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x^{2} ((- 2 x + 7) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x^{2} (- 2 x + 7) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$- 2 x + 7 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 7

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Setze $- 2 x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $- 2 x + 7$ gleich $0$ .

$- 2 x + 7 = 0$

Schritt 8.2

Löse $- 2 x + 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 7$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 7$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 7$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 9

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 10

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x^{2} (- 2 x + 7) (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{7}{2}, - 2, 2$