Algebra Beispiele

${(x - 1)}^{2} = 6 - {(y + 4)}^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere ${(y + 4)}^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$(x - 1) (x - 1) + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Schritt 1.2.4

Schreibe ${(y + 4)}^{2}$ als $(y + 4) (y + 4)$ um.

$x^{2} - 2 x + 1 + (y + 4) (y + 4) = 6$

Schritt 1.2.5

Multipliziere $(y + 4) (y + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 2 x + 1 + y (y + 4) + 4 (y + 4) = 6$

Schritt 1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 2 x + 1 + y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4) = 6$

Schritt 1.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 2 x + 1 + y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4 = 6$

Schritt 1.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4 = 6$

Schritt 1.2.6.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4 = 6$

Schritt 1.2.6.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 4 y + 4 y + 16 = 6$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $4 y$ und $4 y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 8 y + 16 = 6$

Schritt 1.3

Addiere $1$ und $16$ .

$x^{2} - 2 x + y^{2} + 8 y + 17 = 6$

Schritt 1.4

Bewege $- 2 x$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 17 = 6$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die keine Variable enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $17$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = 6 - 17$

Schritt 2.2

Subtrahiere $17$ von $6$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = - 11$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 2 x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 3.3.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 1)}^{2} - 1$ ein.

${(x - 1)}^{2} - 1$

Schritt 4

Setze ${(x - 1)}^{2} - 1$ für $x^{2} - 2 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = - 11$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} + 8 y = - 11$

Schritt 5

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} + 8 y = - 11 + 1$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 8 y$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Schritt 6.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 6.3.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Schritt 6.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 6.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$e = - 16$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 4)}^{2} - 16$ ein.

${(y + 4)}^{2} - 16$

Schritt 7

Setze ${(y + 4)}^{2} - 16$ für $y^{2} + 8 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = - 11$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = - 11 + 1$

Schritt 8

Bringe $- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $16$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - 11 + 1 + 16$

Schritt 9

Vereinfache $- 11 + 1 + 16$ .

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Schritt 9.1

Addiere $- 11$ und $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - 10 + 16$

Schritt 9.2

Addiere $- 10$ und $16$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 6$