Algebra Beispiele

${(5 - \sqrt{x})}^{2} = y - 20 \sqrt{2}$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$5 - \sqrt{x} = \pm \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$5 - \sqrt{x} = \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{x} = \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{x})}^{2} = {(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.5

Vereinfache.

$x = {(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$ als $(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5) (\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)$ um.

$x = (\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5) (\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5) (\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} (\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5) - 5 (\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \cdot - 5 - 5 (\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \cdot - 5 - 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ mit $\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ .

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} + \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \cdot - 5 - 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ .

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} - 5 \cdot \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} - 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + 25$

Schritt 2.4.3.1.3.2

Subtrahiere $5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ von $- 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ .

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} - 10 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + 25$

Schritt 2.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$5 - \sqrt{x} = - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$

Schritt 2.6

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{x} = - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5$

Schritt 2.7

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{x})}^{2} = {(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.8

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.2.1

Vereinfache ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.8.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.8.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.8.2.1.3

Mutltipliziere ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.8.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.8.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.8.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.8.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.8.2.1.5

Vereinfache.

$x = {(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.3.1

Vereinfache ${(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$ .

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Schritt 2.8.3.1.1

Schreibe ${(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)}^{2}$ als $(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5) (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)$ um.

$x = (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5) (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)$

Schritt 2.8.3.1.2

Multipliziere $(- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5) (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.8.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5) - 5 (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)$

Schritt 2.8.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}) - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \cdot - 5 - 5 (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5)$

Schritt 2.8.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}) - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \cdot - 5 - 5 (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.8.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.8.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = - 1 \cdot - 1 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \cdot - 5 - 5 (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.8.3.1.3.1.2

Multipliziere $\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ mit $\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.8.3.1.3.1.2.1

Bewege $\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ .

$x = - 1 \cdot - 1 (\sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}) - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \cdot - 5 - 5 (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.8.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ mit $\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ .

$x = - 1 \cdot - 1 {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \cdot - 5 - 5 (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.8.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \cdot - 5 - 5 (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.8.3.1.3.1.4

Mutltipliziere ${\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2}$ mit $1$ .

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} - \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} \cdot - 5 - 5 (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.8.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} + 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5 (- \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.8.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} + 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} - 5 \cdot - 5$

Schritt 2.8.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} + 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + 5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + 25$

Schritt 2.8.3.1.3.2

Addiere $5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ und $5 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}}$ .

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} + 10 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + 25$

Schritt 2.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} - 10 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + 25$

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} + 10 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + 25$

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} - 10 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + 25$

$x = {\sqrt{y - 20 \sqrt{2}}}^{2} + 10 \sqrt{y - 20 \sqrt{2}} + 25$