Algebra Beispiele

$F (x) = x^{3} - \frac{5}{6}$

Schritt 1

Schreibe $F (x) = x^{3} - \frac{5}{6}$ als Gleichung.

$y = x^{3} - \frac{5}{6}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y^{3} - \frac{5}{6}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y^{3} - \frac{5}{6} = x$ um.

$y^{3} - \frac{5}{6} = x$

Schritt 3.2

Addiere $\frac{5}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} = x + \frac{5}{6}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{x + \frac{5}{6}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{x + \frac{5}{6}}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{x \cdot \frac{6}{6} + \frac{5}{6}}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot 6}{6} + \frac{5}{6}}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot 6 + 5}{6}}$

Schritt 3.4.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{6 x + 5}{6}}$

Schritt 3.4.4

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{6 x + 5}{6}}$ als $\frac{\sqrt[3]{6 x + 5}}{\sqrt[3]{6}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5}}{\sqrt[3]{6}}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{6 x + 5}}{\sqrt[3]{6}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{6 x + 5}}{\sqrt[3]{6}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Potenziere $\sqrt[3]{6}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Schritt 3.4.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Schritt 3.4.6.5

Schreibe ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ als $6$ um.

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Schritt 3.4.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6}$ als $6^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Schritt 3.4.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.7.1

Schreibe ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ als $\sqrt[3]{6^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Schritt 3.4.7.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} \sqrt[3]{36}}{6}$

Schritt 3.4.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(6 x + 5) \cdot 36}}{6}$

Schritt 3.4.8.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(6 x + 5) \cdot 36}}{6}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $F^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$F^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $F^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$ die Umkehrfunktion von $F (x) = x^{3} - \frac{5}{6}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $F^{- 1} (F (x)) = x$ ist und $F (F^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $F^{- 1} (F (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$F^{- 1} (F (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6})$ durch Einsetzen des Wertes von $F$ in $F^{- 1}$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (x^{3} - \frac{5}{6}) + 5)}}{6}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Um $x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (x^{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{5}{6}) + 5)}}{6}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{6}{6}$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (\frac{x^{3} \cdot 6}{6} - \frac{5}{6}) + 5)}}{6}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (\frac{x^{3} \cdot 6 - 5}{6}) + 5)}}{6}$

Schritt 5.2.3.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (\frac{6 x^{3} - 5}{6}) + 5)}}{6}$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (\frac{6 x^{3} - 5}{6}) + 5)}}{6}$

Schritt 5.2.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} - 5 + 5)}}{6}$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $- 5$ und $5$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Schritt 5.2.3.7

Addiere $6 x^{3}$ und $0$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $36$ mit $6$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Schritt 5.2.3.9

Schreibe $216 x^{3}$ als ${(6 x)}^{3}$ um.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Schritt 5.2.3.10

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $F (F^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$F (F^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6})$ durch Einsetzen des Wertes von $F^{- 1}$ in $F$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = {(\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6})}^{3} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$ an.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}^{3}}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}^{3}$ als $36 (6 x + 5)$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}$ als ${(36 (6 x + 5))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{{({(36 (6 x + 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{{(36 (6 x + 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{{(36 (6 x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{{(36 (6 x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x) + 36 \cdot 5}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $36$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{216 x + 36 \cdot 5}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.4

Mutltipliziere $36$ mit $5$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{216 x + 180}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere $36$ aus $216 x + 180$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.5.1

Faktorisiere $36$ aus $216 x$ heraus.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x) + 180}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.5.2

Faktorisiere $36$ aus $180$ heraus.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x) + 36 (5)}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.2.5.3

Faktorisiere $36$ aus $36 (6 x) + 36 (5)$ heraus.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $6$ mit $3$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{216} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{36 \cdot 6} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{36 \cdot 6} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{6 x + 5}{6} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{6 x + 5 - 5}{6}$

Schritt 5.3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{6 x + 0}{6}$

Schritt 5.3.4.2.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.3.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = x$

Schritt 5.4

Da $F^{- 1} (F (x)) = x$ und $F (F^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $F^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $F (x) = x^{3} - \frac{5}{6}$ .

$F^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$