Algebra Beispiele

$\sqrt{2 x + y} < \sqrt{3 x - y - 1}$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{2 x + y}}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + y}$ als ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Schritt 1.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + y)}^{1} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Schritt 1.2.2.1.2

Vereinfache.

$2 x + y < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe ${\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$ als $3 x - y - 1$ um.

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Schritt 1.2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x - y - 1}$ als ${(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + y < {({(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 1.2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{1}$

Schritt 1.2.3.1.5

Vereinfache.

$2 x + y < 3 x - y - 1$

Schritt 1.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.3.1.1

Addiere $y$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x + y + y < 3 x - 1$

Schritt 1.3.1.2

Addiere $y$ und $y$ .

$2 x + 2 y < 3 x - 1$

Schritt 1.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 y < 3 x - 1 - 2 x$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$2 y < x - 1$

Schritt 1.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y < x - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y < x - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Ermittle Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse für die Grenzlinie.

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Schritt 2.1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.1.2

Stelle die Terme um.

$y < \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2

Benutze die Normalform, um die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln.

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Schritt 2.2.1

Ermittle die Werte von $m$ und $b$ unter Anwendung der Form $y = m x + b$ .

$m = \frac{1}{2}$

$b = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2

Die Steigung der Geraden ist der Wert von $m$ und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Wert von $b$ .

Steigung: $\frac{1}{2}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, - \frac{1}{2})$

Steigung: $\frac{1}{2}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, - \frac{1}{2})$

Steigung: $\frac{1}{2}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, - \frac{1}{2})$

Schritt 3

Zeichne eine gestrichelte Linie und schraffiere dann die Fläche unterhalb der Grenzlinie, da $y$ kleiner als $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ ist.

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4