Algebra Beispiele

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}}{\frac{14 x^{2} - 22 x - 12}{x^{2} - 25}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{x^{2} - 25}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{x^{2} - 5^{2}}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $14 x^{2} - 22 x - 12$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14 x^{2}$ heraus.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) - 22 x - 12}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 22 x$ heraus.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x) - 12}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 (- 6)}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ heraus.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (7 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)$ heraus.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 x - 6)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot - 6 = - 42$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 (x) - 6)}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 11$ um als $3$ plus $- 14$

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} + (3 - 14) x - 6)}$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} + 3 x - 14 x - 6)}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 ((7 x^{2} + 3 x) - 14 x - 6)}$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x (7 x + 3) - 2 (7 x + 3))}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x + 3$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 ((7 x + 3) (x - 2))}$

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(\frac{3}{x \cdot x + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$(\frac{3}{x \cdot x + x \cdot 5} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 5$ heraus.

$(\frac{3}{x (x + 5)} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x^{2} + 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $6$ ist.

$1, 5$

Schritt 4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(\frac{3}{x (x + 5)} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 5

Um $\frac{3}{x (x + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6

Um $\frac{4}{(x + 1) (x + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x}{x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x + 5) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x (x + 5)}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 5) (x + 1)} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x}{x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{4}{(x + 1) (x + 5)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 5) (x + 1)} + \frac{4 x}{(x + 1) (x + 5) x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 7.3

Stelle die Faktoren von $x (x + 5) (x + 1)$ um.

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1) (x + 5)} + \frac{4 x}{(x + 1) (x + 5) x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 7.4

Stelle die Faktoren von $(x + 1) (x + 5) x$ um.

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1) (x + 5)} + \frac{4 x}{x (x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (x + 1) + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 x + 3 + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 9.3

Addiere $3 x$ und $4 x$ .

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 x + 3$ .

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $7 x + 3$ aus $2 (7 x + 3) (x - 2)$ heraus.

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(7 x + 3) (2 (x - 2))}$

Schritt 10.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(7 x + 3) (2 (x - 2))}$

Schritt 10.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $x (x + 1) (x + 5)$ heraus.

$\frac{1}{(x + 5) (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x + 5) (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (x + 1)} \cdot \frac{x - 5}{2 (x - 2)}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x (x + 1)}$ mit $\frac{x - 5}{2 (x - 2)}$ .

$\frac{x - 5}{x (x + 1) (2 (x - 2))}$

Schritt 10.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x (x + 1)$ .

$\frac{x - 5}{2 x (x + 1) (x - 2)}$