Algebra Beispiele

$2 x^{4} + 32 x^{2} + 128 = 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$2 u^{2} + 32 u + 128 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u^{2} + 32 u + 128$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u^{2}$ heraus.

$2 (u^{2}) + 32 u + 128 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $32 u$ heraus.

$2 (u^{2}) + 2 (16 u) + 128 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $128$ heraus.

$2 u^{2} + 2 (16 u) + 2 \cdot 64 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 u^{2} + 2 (16 u)$ heraus.

$2 (u^{2} + 16 u) + 2 \cdot 64 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (u^{2} + 16 u) + 2 \cdot 64$ heraus.

$2 (u^{2} + 16 u + 64) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$2 (u^{2} + 16 u + 8^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 u = 2 \cdot u \cdot 8$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 8$ .

$2 {(u + 8)}^{2} = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 {(u + 8)}^{2} = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(u + 8)}^{2} = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 {(u + 8)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(u + 8)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere ${(u + 8)}^{2}$ durch $1$ .

${(u + 8)}^{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

${(u + 8)}^{2} = 0$

Schritt 4

Setze $u + 8$ gleich $0$ .

$u + 8 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 8$

Schritt 6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = - 8$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Schritt 7.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Schritt 7.2.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Schritt 7.2.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 7.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Schritt 7.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Schritt 7.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 7.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$