Algebra Beispiele

$\tan (x) \sin^{2} (x) = 3 \tan (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $3 \tan (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) \sin^{2} (x) - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin^{2} (x) - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1.2.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.2.1

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 3 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{3} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 2.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 2.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \tan (x) - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 2.2.4

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) \tan (x) - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 2.2.5

Separiere Brüche.

$\sin^{2} (x) \tan (x) - (\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Schritt 2.2.6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\sin^{2} (x) \tan (x) - (\frac{3}{1} \cdot \tan (x)) = 0$

Schritt 2.2.7

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) \tan (x) - (3 \tan (x)) = 0$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\sin^{2} (x) \tan (x) - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\sin^{2} (x) \tan (x) - 3 \tan (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\sin^{2} (x) \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) \sin^{2} (x) - 3 \tan (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $- 3 \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) \sin^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) \sin^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 3$ heraus.

$\tan (x) (\sin^{2} (x) - 3) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\sin^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 5

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 5.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze $\sin^{2} (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\sin^{2} (x) - 3$ gleich $0$ .

$\sin^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\sin^{2} (x) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) = 3$

Schritt 6.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (x) = \pm \sqrt{3}$

Schritt 6.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \sqrt{3}$

Schritt 6.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 6.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 6.2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \sqrt{3}$

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 6.2.5

Löse in $\sin (x) = \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.5.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\sqrt{3}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 6.2.6

Löse in $\sin (x) = - \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.6.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \sqrt{3}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (\sin^{2} (x) - 3) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$