Algebra Beispiele

$\log_{2} (4 x) - \log_{2} (x - 5) = \log_{2} (8)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{4 x}{x - 5}) = \log_{2} (8)$

Schritt 2

Die logarithmische Basis $2$ von $8$ ist $3$ .

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Schritt 2.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{2} (8) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{2} (8) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

Schritt 2.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{3}$

Schritt 2.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 3$

Schritt 2.5

Die Variable $x$ ist gleich $3$ .

$\log_{2} (\frac{4 x}{x - 5}) = 3$

Schritt 3

Schreibe $\log_{2} (\frac{4 x}{x - 5}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{4 x}{x - 5}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$4 x = 2^{3} (x - 5)$

Schritt 5

Vereinfache $2^{3} (x - 5)$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 x = 8 (x - 5)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x = 8 x + 8 \cdot - 5$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 5$ .

$4 x = 8 x - 40$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 8 x = - 40$

Schritt 6.2

Subtrahiere $8 x$ von $4 x$ .

$- 4 x = - 40$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 40$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 40$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 40}{- 4}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 40$ durch $- 4$ .

$x = 10$