Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{8} - \sqrt{12}}{\sqrt{2} - \sqrt{12}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (2)} - \sqrt{12}}{\sqrt{2} - \sqrt{12}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} - \sqrt{12}}{\sqrt{2} - \sqrt{12}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{12}}{\sqrt{2} - \sqrt{12}}$

Schritt 1.3

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{4 (3)}}{\sqrt{2} - \sqrt{12}}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{2} - \sqrt{12}}$

Schritt 1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{3})}{\sqrt{2} - \sqrt{12}}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{12}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{4 (3)}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - (2 \sqrt{3})}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{{\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{(2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$ und $- 10$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $(2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 ((\sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}))}{- 10}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{2 ((\sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}))}{2 (- 5)}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((\sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}))}{2 \cdot - 5}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 5

Multipliziere $(\sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $\sqrt{2} (2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 6.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 + 2 \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 6.1.6

Multipliziere $- \sqrt{3} \sqrt{2}$ .

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Schritt 6.1.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 6.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 6.1.7

Multipliziere $- \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 6.1.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 5}$

Schritt 6.1.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 5}$

Schritt 6.1.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 5}$

Schritt 6.1.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 5}$

Schritt 6.1.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 {\sqrt{3}}^{2}}{- 5}$

Schritt 6.1.8

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 5}$

Schritt 6.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 5}$

Schritt 6.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 5}$

Schritt 6.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 5}$

Schritt 6.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 \cdot 3^{1}}{- 5}$

Schritt 6.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 2 \cdot 3}{- 5}$

Schritt 6.1.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6} - 6}{- 5}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$\frac{- 4 + 2 \sqrt{6} - \sqrt{6}}{- 5}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $\sqrt{6}$ von $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{- 4 + \sqrt{6}}{- 5}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- 4 + \sqrt{6}}{5}$

Schritt 8

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$- \frac{- 1 (4) + \sqrt{6}}{5}$

Schritt 9

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{6}$ heraus.

$- \frac{- 1 (4) - 1 (- \sqrt{6})}{5}$

Schritt 10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - 1 (- \sqrt{6})$ heraus.

$- \frac{- 1 (4 - \sqrt{6})}{5}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{4 - \sqrt{6}}{5}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{4 - \sqrt{6}}{5}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $\frac{4 - \sqrt{6}}{5}$ mit $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{6}}{5}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 - \sqrt{6}}{5}$

Dezimalform:

$0.31010205 \dots$