Algebra Beispiele

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{600 x - 6 x^{3}}{5 - x}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $6 x$ aus $600 x - 6 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $6 x$ aus $600 x$ heraus.

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (100) - 6 x^{3}}{5 - x}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $6 x$ aus $- 6 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (100) + 6 x (- x^{2})}{5 - x}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (100) + 6 x (- x^{2})$ heraus.

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (100 - x^{2})}{5 - x}$

Schritt 1.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10^{2} - x^{2})}{5 - x}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 10$ und $b = x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 5 x - 50$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 50$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 10, 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 x}{(x - 10) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{2 x}{(x - 10) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{2 x}{(x - 10) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x - 10) (x + 5)$ heraus.

$\frac{2 x}{(x + 5) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{(x + 5) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x}{x - 10} \cdot \frac{x - 5}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2 x}{x - 10}$ mit $\frac{x - 5}{x + 10}$ .

$\frac{2 x (x - 5)}{(x - 10) (x + 10)} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{2 x (x - 5)}{(x - 10) (x + 10)} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{2 x (x - 5)}{(x - 10) (x + 10)}$ mit $\frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$ .

$\frac{2 x (x - 5) (6 x (10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 x (x - 5) ((x (10 + x)) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Schritt 5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{12 (x^{1} x) (x - 5) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Schritt 5.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{12 (x^{1} x^{1}) (x - 5) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Schritt 5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 x^{1 + 1} (x - 5) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Schritt 5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{12 x^{2} (x - 5) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 5$ und $5 - x$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{12 x^{2} (- 1 (- x) - 5) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Schritt 6.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{12 x^{2} (- 1 (- x) - 1 (5)) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{12 x^{2} (- 1 (- x + 5)) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{12 x^{2} (- 1 (- x + 5)) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (- x + 5)}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2} (- 1 (- x + 5)) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (- x + 5)}$

Schritt 6.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10 + x$ und $x + 10$ .

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Schritt 7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) ((x + 10) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) ((x + 10) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10)}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) (10 - x)}{x - 10}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10 - x$ und $x - 10$ .

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Schritt 8.1

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) (- 1 (- 10) - x)}{x - 10}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) (- 1 (- 10) - (x))}{x - 10}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 10) - (x)$ heraus.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) (- 1 (- 10 + x))}{x - 10}$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{12 x^{2} \cdot - 1 (- 1 (x - 10))}{x - 10}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2} \cdot - 1 (- 1 (x - 10))}{x - 10}$

Schritt 8.6

Dividiere $12 x^{2} \cdot - 1 \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$12 x^{2} \cdot - 1 \cdot (- 1)$

Schritt 9

Multipliziere.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$- 12 x^{2} \cdot - 1$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$12 x^{2}$