Algebra Beispiele

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = {(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x y)}^{2}$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x y)}^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x y$ an.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x)}^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 2^{2} x^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ als $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ um.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = (x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$

Schritt 3.2

Multipliziere $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2}$

Schritt 3.3.1.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4}$

Schritt 3.3.2

Addiere $x^{2} y^{2}$ und $y^{2} x^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Stelle $y^{2}$ und $x^{2}$ um.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $x^{2} y^{2}$ und $x^{2} y^{2}$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} = 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Schreibe ${(x^{2} - y^{2})}^{2}$ als $(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2})$ um.

$(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x^{2} - y^{2}) - y^{2} (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3.1.4

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.4.1

Bewege $y^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3.1.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3.1.6

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3.2

Subtrahiere $y^{2} x^{2}$ von $- x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - 1 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.3.3.2.2

Subtrahiere $x^{2} y^{2}$ von $- x^{2} y^{2}$ .

$x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $x^{4}$ von $x^{4}$ .

$- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 0 - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.4.2

Addiere $- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2}$ und $0$ .

$- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.5

Addiere $- 2 x^{2} y^{2}$ und $4 x^{2} y^{2}$ .

$y^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Schritt 4.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 4.6.1

Subtrahiere $2 x^{2} y^{2}$ von $2 x^{2} y^{2}$ .

$y^{4} + 0 = y^{4}$

Schritt 4.6.2

Addiere $y^{4}$ und $0$ .

$y^{4} = y^{4}$

Schritt 5

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| y | = | y |$

Schritt 6

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$y = y$

$y = - y$

$- y = y$

$- y = - y$

Schritt 7

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$y = y$

$y = - y$

Schritt 8

Löse $y = y$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - y = 0$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$0 = 0$

Schritt 8.2

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

Schritt 9

Löse $y = - y$ nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + y = 0$

Schritt 9.1.2

Addiere $y$ und $y$ .

$2 y = 0$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = 0$

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0$

Schritt 11

Die Variable $x$ wurde abgebrochen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$