Algebra Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{x}{x - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{x}{x - 1}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x}{x - 1}$

Schritt 2

Um $- \frac{x}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 1)$ um.

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x - x (x + 1)$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x (x + 1)$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + x (- (x + 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- (x + 1))$ heraus.

$\frac{x (1 - (x + 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (1 - x - 1 \cdot 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (1 - x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{x (- x + 0)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.5

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{x \cdot - 1 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (x \cdot x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.6.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- (x^{1} x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.6.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- (x^{1} x^{1})}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{1 + 1}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$