Algebra Beispiele

${(2 x - 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(2 x - 3 y^{2})}^{3}$ gilt $n = 3$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $4$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $2 x$ und $b$ $- 3 y^{2}$ in den Ausdruck ein.

$1 {(2 x)}^{3} {(- 3 y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(2 x)}^{3}$ mit $1$ .

${(2 x)}^{3} {(- 3 y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2^{3} x^{3} {(- 3 y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} {(- 3 y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- 3 y^{2}$ an.

$8 x^{3} ({(- 3)}^{0} {(y^{2})}^{0}) + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \cdot {(- 3)}^{0} x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 \cdot 1 x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.8

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{0}$ .

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Schritt 4.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{3} y^{2 \cdot 0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$8 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.14

Vereinfache.

$8 x^{3} + 12 x^{2} (- 3 y^{2}) + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.15

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{3} + 12 \cdot - 3 x^{2} y^{2} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $12$ mit $- 3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.17

Vereinfache.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 3 (2 x) {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 6 x {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $- 3 y^{2}$ an.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 6 x ({(- 3)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.20

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 6 \cdot {(- 3)}^{2} x {(y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.21

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 6 \cdot 9 x {(y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x {(y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.23

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.23.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{2 \cdot 2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.23.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.24

Mutltipliziere ${(2 x)}^{0}$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.25

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + 2^{0} x^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.26

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + 1 x^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.27

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + x^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.28

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + 1 {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.29

Mutltipliziere ${(- 3 y^{2})}^{3}$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + {(- 3 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.30

Wende die Produktregel auf $- 3 y^{2}$ an.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + {(- 3)}^{3} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.31

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} - 27 {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.32

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.32.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} - 27 y^{2 \cdot 3}$

Schritt 4.32.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} - 27 y^{6}$