Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $y x$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$ mit $\frac{y x}{y x}$ .

$\frac{y x}{y x} \cdot \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{y x (x^{2} + 2 x y + y^{2})}{y x (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{y x \frac{x}{y} + y x (- \frac{y}{x})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{y (x) \frac{x}{y} + y x (- \frac{y}{x})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{y x \frac{x}{y} + y x (- \frac{y}{x})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x \cdot x + y x (- \frac{y}{x})}$

Schritt 3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{1} x + y x (- \frac{y}{x})}$

Schritt 3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{1} x^{1} + y x (- \frac{y}{x})}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{1 + 1} + y x (- \frac{y}{x})}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} + y x (- \frac{y}{x})}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{x}$ in den Zähler.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} + y x \frac{- y}{x}}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $x$ aus $y x$ heraus.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} + x y \frac{- y}{x}}$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} + x y \frac{- y}{x}}$

Schritt 3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} + y (- y)}$

Schritt 3.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - (y^{1} y)}$

Schritt 3.8

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - (y^{1} y^{1})}$

Schritt 3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{1 + 1}}$

Schritt 3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{2} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{y (x^{2} x) + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y (x^{2} x^{1}) + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x^{2 + 1} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{y x^{3} + y x (2 x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y x^{3} + 2 y x (x y) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Bewege $y$ .

$\frac{y x^{3} + 2 (y \cdot y) x \cdot x + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x \cdot x + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} (x \cdot x) + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y x y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.5

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{2} y x}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 4.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{2} y^{1} x}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{2 + 1} x}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{3} x}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.6

Schreibe $y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{3} x$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $y x$ aus $y x^{3} + 2 y^{2} x^{2} + y^{3} x$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $y x$ aus $y x^{3}$ heraus.

$\frac{y x (x^{2}) + 2 y^{2} x^{2} + y^{3} x}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere $y x$ aus $2 y^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{y x (x^{2}) + y x (2 y x) + y^{3} x}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $y x$ aus $y^{3} x$ heraus.

$\frac{y x (x^{2}) + y x (2 y x) + y x (y^{2})}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.6.1.4

Faktorisiere $y x$ aus $y x (x^{2}) + y x (2 y x)$ heraus.

$\frac{y x (x^{2} + 2 y x) + y x (y^{2})}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.6.1.5

Faktorisiere $y x$ aus $y x (x^{2} + 2 y x) + y x (y^{2})$ heraus.

$\frac{y x (x^{2} + 2 y x + y^{2})}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.6.2.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 y x = 2 \cdot x \cdot y$

Schritt 4.6.2.2

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{y x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2})}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.6.2.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{y x {(x + y)}^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + y)}^{2}$ und $x + y$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + y$ aus $y x {(x + y)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + y) (y x (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + y) (y x (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x (x + y)}{x - y}$