Algebra Beispiele

$\log (x - 5) - \log (1 - x) = \frac{1}{3}$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 5}{1 - x}) = \frac{1}{3}$

Schritt 2

Schreibe $\log (\frac{x - 5}{1 - x}) = \frac{1}{3}$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{1}{3}} = \frac{x - 5}{1 - x}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} (1 - x)$

Schritt 4

Vereinfache $10^{\frac{1}{3}} (1 - x)$ .

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 10^{\frac{1}{3}} (- x)$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $10^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} + 10^{\frac{1}{3}} (- x)$

Schritt 4.2.2

Stelle die Faktoren in $10^{\frac{1}{3}} + 10^{\frac{1}{3}} (- x)$ um.

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} - x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5

Addiere $x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - 5 + x \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + x \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $x + x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 + x \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (10^{\frac{1}{3}})$ heraus.

$x (1 + 10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + 10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$ durch $1 + 10^{\frac{1}{3}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + 10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$ durch $1 + 10^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x (1 + 10^{\frac{1}{3}})}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} = \frac{10^{\frac{1}{3}}}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + 10^{\frac{1}{3}})}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} = \frac{10^{\frac{1}{3}}}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10^{\frac{1}{3}}}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{10^{\frac{1}{3}} + 5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x - 5) - \log (1 - x) = \frac{1}{3}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$