Algebra Beispiele

$(b^{2}) = b^{8}$

Schritt 1

Subtrahiere $b^{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b^{2} - b^{8} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} - b^{8}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$b^{2} \cdot 1 - b^{8} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $b^{2}$ aus $- b^{8}$ heraus.

$b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- b^{6}) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- b^{6})$ heraus.

$b^{2} (1 - b^{6}) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$b^{2} (1^{3} - b^{6}) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $b^{6}$ als ${(b^{2})}^{3}$ um.

$b^{2} (1^{3} - {(b^{2})}^{3}) = 0$

Schritt 2.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = b^{2}$ .

$b^{2} ((1 - b^{2}) (1^{2} + 1 b^{2} + {(b^{2})}^{2})) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$b^{2} ((1^{2} - b^{2}) (1^{2} + 1 b^{2} + {(b^{2})}^{2})) = 0$

Schritt 2.5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = b$ .

$b^{2} ((1 + b) (1 - b) (1^{2} + 1 b^{2} + {(b^{2})}^{2})) = 0$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$b^{2} ((1 + b) (1 - b) (1^{2} + b^{2} + {(b^{2})}^{2})) = 0$

Schritt 2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1^{2} + b^{2} + {(b^{2})}^{2}) = 0$

Schritt 2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1 + b^{2} + {(b^{2})}^{2}) = 0$

Schritt 2.7

Multipliziere die Exponenten in ${(b^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1 + b^{2} + b^{2 \cdot 2}) = 0$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1 + b^{2} + b^{4}) = 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere.

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Schritt 2.8.1

Schreibe $1 + b^{2} + b^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.8.1.1

Forme den mittleren Term um.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1 + 2 \cdot (1 b^{2}) - b^{2} + b^{4}) = 0$

Schritt 2.8.1.2

Ordne Terme um.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1 + 2 \cdot (1 b^{2}) + b^{4} - b^{2}) = 0$

Schritt 2.8.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) ({(1 + b^{2})}^{2} - b^{2}) = 0$

Schritt 2.8.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1 + b^{2}$ und $b = b$ .

$b^{2} (1 + b) (1 - b) ((1 + b^{2} + b) (1 + b^{2} - b)) = 0$

Schritt 2.8.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1.5.1

Stelle die Terme um.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) ((b^{2} + b + 1) (1 + b^{2} - b)) = 0$

Schritt 2.8.1.5.2

Stelle die Terme um.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) ((b^{2} + b + 1) (b^{2} - b + 1)) = 0$

Schritt 2.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (b^{2} + b + 1) (b^{2} - b + 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$b^{2} = 0$

$1 + b = 0$

$1 - b = 0$

$b^{2} + b + 1 = 0$

$b^{2} - b + 1 = 0$

Schritt 4

Setze $b^{2}$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $b^{2}$ gleich $0$ .

$b^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse $b^{2} = 0$ nach $b$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$b = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$b = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$b = 0$

Schritt 5

Setze $1 + b$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $1 + b$ gleich $0$ .

$1 + b = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = - 1$

Schritt 6

Setze $1 - b$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $1 - b$ gleich $0$ .

$1 - b = 0$

Schritt 6.2

Löse $1 - b = 0$ nach $b$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- b = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- b = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- b = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- b}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{b}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$b = 1$

Schritt 7

Setze $b^{2} + b + 1$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $b^{2} + b + 1$ gleich $0$ .

$b^{2} + b + 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $b^{2} + b + 1 = 0$ nach $b$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $b$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$b = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$b = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$b = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$b = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$b = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$b = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$b = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$b = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$b = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Setze $b^{2} - b + 1$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $b^{2} - b + 1$ gleich $0$ .

$b^{2} - b + 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $b^{2} - b + 1 = 0$ nach $b$ auf.

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Schritt 8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $b$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 8.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$b = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 8.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$b = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$b = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $b^{2} (1 + b) (1 - b) (b^{2} + b + 1) (b^{2} - b + 1) = 0$ wahr machen.

$b = 0, - 1, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$