Algebra Beispiele

$\ln (x - 6) = 2 \ln (2) - \ln (10 - x)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache $2 \ln (2) - \ln (10 - x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x - 6) = \ln (2^{2}) - \ln (10 - x)$

Schritt 1.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\ln (x - 6) = \ln (4) - \ln (10 - x)$

Schritt 1.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x - 6) = \ln (\frac{4}{10 - x})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x - 6 = \frac{4}{10 - x}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{4}{10 - x} + 6$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 10 - x, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$1, 10 - x, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$10 - x$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{4}{10 - x} + 6$ mit $10 - x$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{4}{10 - x} + 6$ mit $10 - x$ .

$x (10 - x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 10 + x (- x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Schritt 3.3.2.1.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.2.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$10 \cdot x + x (- x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$10 \cdot x - x \cdot x = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Schritt 3.3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Bewege $x$ .

$10 x - (x \cdot x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$10 x - x^{2} = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 x - x^{2} = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$10 x - x^{2} = 4 + 6 (10 - x)$

Schritt 3.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 x - x^{2} = 4 + 6 \cdot 10 + 6 (- x)$

Schritt 3.3.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$10 x - x^{2} = 4 + 60 + 6 (- x)$

Schritt 3.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$10 x - x^{2} = 4 + 60 - 6 x$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $4$ und $60$ .

$10 x - x^{2} = 64 - 6 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10 x - x^{2} + 6 x = 64$

Schritt 3.4.1.2

Addiere $10 x$ und $6 x$ .

$- x^{2} + 16 x = 64$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 16 x - 64 = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 16 x - 64$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 16 x - 64 = 0$

Schritt 3.4.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $16 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 64 = 0$

Schritt 3.4.3.1.3

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Schritt 3.4.3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 16 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Schritt 3.4.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 16 x) - 1 (64)$ heraus.

$- (x^{2} - 16 x + 64) = 0$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$- (x^{2} - 16 x + 8^{2}) = 0$

Schritt 3.4.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Schritt 3.4.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Schritt 3.4.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 8$ .

$- {(x - 8)}^{2} = 0$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 8)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 8)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 8)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2.2

Dividiere ${(x - 8)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 8)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Schritt 3.4.5

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 3.4.6

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$