Algebra Beispiele

$x^{2} y - 4 x^{2} - 5 x - 9 y - 6 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $4 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y - 5 x - 9 y - 6 = 4 x^{2}$

Schritt 1.2

Addiere $5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y - 9 y - 6 = 4 x^{2} + 5 x$

Schritt 1.3

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y - 9 y = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 2

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y - 9 y$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$y x^{2} - 9 y = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 9 y$ heraus.

$y x^{2} + y \cdot - 9 = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 2.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} + y \cdot - 9$ heraus.

$y (x^{2} - 9) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y (x^{2} - 3^{2}) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$y ((x + 3) (x - 3)) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$ durch $(x + 3) (x - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 6

Setze den Nenner in $\frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 7.2

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 3, - 3}$

Schritt 9

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}] \cup [\frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}, y \geq \frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}}$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq 3, - 3}$

Wertebereich: $(- \infty, \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}] \cup [\frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}, \infty), {y | y \leq \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}, y \geq \frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}}$

Schritt 11