Algebra Beispiele

$12 x^{\frac{7}{2}} - 108 x^{3} = 0$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{3}$ , der in jedem Term vorkommt.

$12 {(x^{3})}^{\frac{7}{6}} - 108 x^{3}$

Schritt 2

Ersetze $x^{3}$ durch $u$ .

$12 {(u)}^{\frac{7}{6}} - 108 u = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $12 u$ aus $12 u^{\frac{7}{6}} - 108 u$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $12 u$ aus $12 u^{\frac{7}{6}}$ heraus.

$12 u (u^{\frac{1}{6}}) - 108 u = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $12 u$ aus $- 108 u$ heraus.

$12 u (u^{\frac{1}{6}}) + 12 u (- 9) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $12 u$ aus $12 u (u^{\frac{1}{6}}) + 12 u (- 9)$ heraus.

$12 u (u^{\frac{1}{6}} - 9) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$

Schritt 3.3

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 3.4

Setze $u^{\frac{1}{6}} - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $u^{\frac{1}{6}} - 9$ gleich $0$ .

$u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{\frac{1}{6}} = 9$

Schritt 3.4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $6$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{1}{6}})}^{6} = 9^{6}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Vereinfache ${(u^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 9^{6}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 9^{6}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = 9^{6}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$u = 9^{6}$

Schritt 3.4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.2.1

Potenziere $9$ mit $6$ .

$u = 531441$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 u (u^{\frac{1}{6}} - 9) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 531441$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{3} = 0, 531441$

Schritt 5

Löse nach $x^{3} = 0$ auf für $x$ .

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Schritt 5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6

Löse nach $x^{3} = 531441$ auf für $x$ .

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Schritt 6.1

Subtrahiere $531441$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 531441 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $531441$ als $81^{3}$ um.

$x^{3} - 81^{3} = 0$

Schritt 6.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 81$ .

$(x - 81) (x^{2} + x \cdot 81 + 81^{2}) = 0$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Bringe $81$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 81) (x^{2} + 81 x + 81^{2}) = 0$

Schritt 6.2.3.2

Potenziere $81$ mit $2$ .

$(x - 81) (x^{2} + 81 x + 6561) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 81 = 0$

$x^{2} + 81 x + 6561 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x - 81$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x - 81$ gleich $0$ .

$x - 81 = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $81$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 81$

Schritt 6.5

Setze $x^{2} + 81 x + 6561$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x^{2} + 81 x + 6561$ gleich $0$ .

$x^{2} + 81 x + 6561 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $x^{2} + 81 x + 6561 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 81$ und $c = 6561$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 81 \pm \sqrt{81^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6561)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.2.3.1.1

Potenziere $81$ mit $2$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 4 \cdot 1 \cdot 6561}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6561$ .

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Schritt 6.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 4 \cdot 6561}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6561$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 26244}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.3

Subtrahiere $26244$ von $6561$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 19683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.4

Schreibe $- 19683$ als $- 1 (19683)$ um.

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (19683)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19683}$ um.

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{19683}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.7

Schreibe $19683$ als $81^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $6561$ aus $19683$ heraus.

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{6561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.7.2

Schreibe $6561$ als $81^{2}$ um.

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{81^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot (81 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.9

Bringe $81$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 81 \pm 81 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 81 \pm 81 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 81) (x^{2} + 81 x + 6561) = 0$ wahr machen.

$x = 81, - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0, 81, - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$