Algebra Beispiele

$\tan (x) > - 1$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x > \arctan (- 1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x > - \frac{π}{4}$

Schritt 3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 6.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\tan (x) + 1$ .

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Schritt 9.1

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (2) > - 1$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 2.18503986$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (4) > - 1$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $1.15782128$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (5) > - 1$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 3.380515$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ Falsch

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ Wahr

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ Falsch

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ Falsch

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ Wahr

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{3 π}{4} + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 13