Algebra Beispiele

$\frac{1}{8 x^{6}} + \frac{y^{3}}{216}$

Schritt 1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{1^{3}}{8 x^{6}} + \frac{y^{3}}{216}$

Schritt 2

Schreibe $8 x^{6}$ als ${(2 x^{2})}^{3}$ um.

$\frac{1^{3}}{{(2 x^{2})}^{3}} + \frac{y^{3}}{216}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{1^{3}}{{(2 x^{2})}^{3}}$ als ${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3}$ um.

${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3} + \frac{y^{3}}{216}$

Schritt 4

Schreibe $216$ als $6^{3}$ um.

${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3} + \frac{y^{3}}{6^{3}}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{y^{3}}{6^{3}}$ als ${(\frac{y}{6})}^{3}$ um.

${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3} + {(\frac{y}{6})}^{3}$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = \frac{1}{2 x^{2}}$ und $b = \frac{y}{6}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) ({(\frac{1}{2 x^{2}})}^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2 x^{2}}$ an.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1^{2}}{{(2 x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Schritt 7.1.2

Wende die Produktregel auf $2 x^{2}$ an.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1^{2}}{2^{2} {(x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Schritt 7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{2^{2} {(x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Schritt 7.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 {(x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Schritt 7.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 7.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{2 \cdot 2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Schritt 7.4

Multipliziere $- \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6}$ .

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{6}$ mit $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{6 (2 x^{2})} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{12 x^{2}} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Schritt 7.5

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{6}$ an.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{12 x^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}})$

Schritt 7.6

Potenziere $6$ mit $2$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{12 x^{2}} + \frac{y^{2}}{36})$

Schritt 7.7

Faktorisiere.

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Schritt 7.7.1

Faktorisiere $\frac{1}{36}$ aus jedem Term raus.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{36} (\frac{9}{x^{4}} - \frac{3 y}{x^{2}} + y^{2}))$

Schritt 7.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) \frac{1}{36} (\frac{9}{x^{4}} - \frac{3 y}{x^{2}} + y^{2})$