Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{12 - 4 x} \cdot \frac{x^{6} - 9 x^{4}}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{12 - 4 x} \cdot \frac{x^{6} - 9 x^{4}}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{12 - 4 x} \cdot \frac{x^{6} - 9 x^{4}}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{12 - 4 x} \cdot \frac{x^{6} - 9 x^{4}}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 2

Faktorisiere $4$ aus $12 - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3) - 4 x} \cdot \frac{x^{6} - 9 x^{4}}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3) + 4 (- x)} \cdot \frac{x^{6} - 9 x^{4}}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (3) + 4 (- x)$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3 - x)} \cdot \frac{x^{6} - 9 x^{4}}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{6} - 9 x^{4}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3 - x)} \cdot \frac{x^{4} x^{2} - 9 x^{4}}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 9 x^{4}$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3 - x)} \cdot \frac{x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 9}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 9$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3 - x)} \cdot \frac{x^{4} (x^{2} - 9)}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3 - x)} \cdot \frac{x^{4} (x^{2} - 3^{2})}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3 - x)} \cdot \frac{x^{4} (x + 3) (x - 3)}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3 - x)} \cdot \frac{x^{4} (x + 3) (x - 3)}{x^{2} x - 3 x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3 - x)} \cdot \frac{x^{4} (x + 3) (x - 3)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4 (3 - x)} \cdot \frac{x^{4} (x + 3) (x - 3)}{x^{2} (x - 3)}$

Schritt 4.2

Kombinieren.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (x^{4} (x + 3) (x - 3))}{4 (3 - x) (x^{2} (x - 3))}$

Schritt 5

Multipliziere ${(x - 3)}^{2}$ mit $x - 3$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $x - 3$ .

$\frac{(x - 3) {(x - 3)}^{2} (x^{4} (x + 3))}{4 (3 - x) (x^{2} (x - 3))}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit ${(x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} (x^{4} (x + 3))}{4 (3 - x) (x^{2} (x - 3))}$

Schritt 5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x - 3)}^{1 + 2} (x^{4} (x + 3))}{4 (3 - x) (x^{2} (x - 3))}$

Schritt 5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} (x^{4} (x + 3))}{4 (3 - x) (x^{2} (x - 3))}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 3)}^{3}$ und $x - 3$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x - 3$ aus ${(x - 3)}^{3} (x^{4} (x + 3))$ heraus.

$\frac{(x - 3) ({(x - 3)}^{2} (x^{4} (x + 3)))}{4 (3 - x) (x^{2} (x - 3))}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $4 (3 - x) (x^{2} (x - 3))$ heraus.

$\frac{(x - 3) ({(x - 3)}^{2} (x^{4} (x + 3)))}{(x - 3) (4 (3 - x) (x^{2}))}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) ({(x - 3)}^{2} (x^{4} (x + 3)))}{(x - 3) (4 (3 - x) (x^{2}))}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (x^{4} (x + 3))}{4 (3 - x) (x^{2})}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus ${(x - 3)}^{2} (x^{4} (x + 3))$ heraus.

$\frac{x^{2} ({(x - 3)}^{2} (x^{2} (x + 3)))}{4 (3 - x) (x^{2})}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 (3 - x) (x^{2})$ heraus.

$\frac{x^{2} ({(x - 3)}^{2} (x^{2} (x + 3)))}{x^{2} (4 (3 - x))}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} ({(x - 3)}^{2} (x^{2} (x + 3)))}{x^{2} (4 (3 - x))}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (x^{2} (x + 3))}{4 (3 - x)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 3)}^{2}$ und $3 - x$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{{(- 1 (- x) - 3)}^{2} (x^{2} (x + 3))}{4 (3 - x)}$

Schritt 8.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{{(- 1 (- x) - 1 (3))}^{2} (x^{2} (x + 3))}{4 (3 - x)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{{(- 1 (- x + 3))}^{2} (x^{2} (x + 3))}{4 (3 - x)}$

Schritt 8.4

Wende die Produktregel auf $- 1 (- x + 3)$ an.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- x + 3)}^{2} (x^{2} (x + 3))}{4 (3 - x)}$

Schritt 8.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 {(- x + 3)}^{2} (x^{2} (x + 3))}{4 (3 - x)}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere ${(- x + 3)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{{(- x + 3)}^{2} (x^{2} (x + 3))}{4 (3 - x)}$

Schritt 8.7

Stelle die Terme um.

$\frac{{(- x + 3)}^{2} x^{2} (x + 3)}{4 (- x + 3)}$

Schritt 8.8

Faktorisiere $- x + 3$ aus ${(- x + 3)}^{2} x^{2} (x + 3)$ heraus.

$\frac{(- x + 3) ((- x + 3) x^{2} (x + 3))}{4 (- x + 3)}$

Schritt 8.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.9.1

Faktorisiere $- x + 3$ aus $4 (- x + 3)$ heraus.

$\frac{(- x + 3) ((- x + 3) x^{2} (x + 3))}{(- x + 3) \cdot 4}$

Schritt 8.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- x + 3) ((- x + 3) x^{2} (x + 3))}{(- x + 3) \cdot 4}$

Schritt 8.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- x + 3) x^{2} (x + 3)}{4}$

Schritt 9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) + 3) x^{2} (x + 3)}{4}$

Schritt 10

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (- 3)) x^{2} (x + 3)}{4}$

Schritt 11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{- (x - 3) x^{2} (x + 3)}{4}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Schreibe $- (x - 3)$ als $- 1 (x - 3)$ um.

$\frac{- 1 (x - 3) x^{2} (x + 3)}{4}$

Schritt 12.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(x - 3) x^{2} (x + 3)}{4}$

Schritt 12.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(x - 3) x^{2} (x + 3)}{4}$ um.

$- \frac{x^{2} (x - 3) (x + 3)}{4}$