Algebra Beispiele

$\frac{27 x^{4} - x}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $27 x^{4} - x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $27 x^{4}$ heraus.

$\frac{x (27 x^{3}) - x}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (27 x^{3}) + x \cdot - 1}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (27 x^{3}) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x (27 x^{3} - 1)}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 1.2

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

$\frac{x ({(3 x)}^{3} - 1)}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x ({(3 x)}^{3} - 1^{3})}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 3 x$ und $b = 1$ .

$\frac{x ((3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$\frac{x ((3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 1.5.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x ((3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x ((3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2}))}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 1.5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x ((3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{4} + x^{3} + x}$

$\frac{x (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{4} + x^{3} + x}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} + x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x^{3} + x^{3} + x}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2}$ heraus.

$\frac{x (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}{x (x^{3} + x^{2}) + x \cdot 1}$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} + x^{2}) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{x (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}{x (x^{3} + x^{2} + 1)}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}{x (x^{3} + x^{2} + 1)}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{3} + x^{2} + 1}$