Algebra Beispiele

$y = - \frac{8}{27} \sec (\frac{π x}{12} - \sqrt{9}) - 28$

Schritt 1

Setze das Argument in $\sec (\frac{π x}{12} - \sqrt{9})$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{π x}{12} - \sqrt{9} = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{π x}{12} - \sqrt{3^{2}} = \frac{π}{2} + π n$

Schritt 2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{π x}{12} - 1 \cdot 3 = \frac{π}{2} + π n$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{π x}{12} - 3 = \frac{π}{2} + π n$

Schritt 2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + π n + 3$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (\frac{π}{2} + π n + 3)$

Schritt 2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (\frac{π}{2} + π n + 3)$

Schritt 2.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (\frac{π}{2} + π n + 3)$

Schritt 2.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (\frac{π}{2} + π n + 3)$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (\frac{π}{2} + π n + 3)$

Schritt 2.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{π} (\frac{π}{2} + π n + 3)$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\frac{12}{π} (\frac{π}{2} + π n + 3)$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{12}{π} (π n) + \frac{12}{π} \cdot 3$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{12}{π} (π n) + \frac{12}{π} \cdot 3$

Schritt 2.4.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{12}{π} (π n) + \frac{12}{π} \cdot 3$

Schritt 2.4.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{6}{π} π + \frac{12}{π} (π n) + \frac{12}{π} \cdot 3$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.4.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6}{π} π + \frac{12}{π} (π n) + \frac{12}{π} \cdot 3$

Schritt 2.4.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 6 + \frac{12}{π} (π n) + \frac{12}{π} \cdot 3$

Schritt 2.4.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.4.2.1.2.3.1

Faktorisiere $π$ aus $π n$ heraus.

$x = 6 + \frac{12}{π} (π (n)) + \frac{12}{π} \cdot 3$

Schritt 2.4.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6 + \frac{12}{π} (π n) + \frac{12}{π} \cdot 3$

Schritt 2.4.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 6 + 12 n + \frac{12}{π} \cdot 3$

Schritt 2.4.2.1.2.4

Multipliziere $\frac{12}{π} \cdot 3$ .

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Schritt 2.4.2.1.2.4.1

Kombiniere $\frac{12}{π}$ und $3$ .

$x = 6 + 12 n + \frac{12 \cdot 3}{π}$

Schritt 2.4.2.1.2.4.2

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$x = 6 + 12 n + \frac{36}{π}$

Schritt 2.5

Stelle $6$ und $12 n$ um.

$x = 12 n + 6 + \frac{36}{π}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 12 n + 6 + \frac{36}{π}}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{764}{27}] \cup [- \frac{748}{27}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - \frac{764}{27}, y \geq - \frac{748}{27}}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: ${x | x \neq 12 n + 6 + \frac{36}{π}}$ , für jede Ganzzahl $n$

Wertebereich: $(- \infty, - \frac{764}{27}] \cup [- \frac{748}{27}, \infty), {y | y \leq - \frac{764}{27}, y \geq - \frac{748}{27}}$

Schritt 6