Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{(x + 2) (x^{2} - 2 x - 15)}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x^{2} - 2 x - 15)}$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 5, 3$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 2) ((x - 5) (x + 3))}$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 5) (x + 3)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 5) (x + 3)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{x - 1}{(x - 5) (x + 3)}$

Schritt 4

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x + 2$

Schritt 5

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{x - 1}{(x - 5) (x + 3)}$ .

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Schritt 5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.3

Setze $- 2$ für $x$ in $\frac{x - 1}{(x - 5) (x + 3)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Setze $- 2$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{- 2 - 1}{(- 2 - 5) (- 2 + 3)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$\frac{- 3}{(- 2 - 5) (- 2 + 3)}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $- 2$ .

$\frac{- 3}{- 7 (- 2 + 3)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{- 3}{- 7 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{- 3}{- 7}$

Schritt 5.3.2.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{3}{7}$

Schritt 5.4

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(- 2, \frac{3}{7})$

Schritt 6