Algebra Beispiele

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 30}{5 - x} \div \frac{x^{2} - 7 x + 6}{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 30}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 11 x + 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $30$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 6, - 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (x - 5)}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 5$ und $5 - x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x) - 5)}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x) - 1 (5))}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x + 5))}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 3.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x + 5))}{- x + 5} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x + 5))}{- x + 5} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 3.1.6

Dividiere $(x - 6) \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$\frac{4}{- x - 1} \cdot ((x - 6) \cdot (- 1)) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{4}{- x - 1} (x - 6) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- \frac{4}{- x - 1} x - \frac{4}{- x - 1} \cdot - 6) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 3.4

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{- x - 1}$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} - \frac{4}{- x - 1} \cdot - 6) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 4

Multipliziere $- \frac{4}{- x - 1} \cdot - 6$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + 6 \frac{4}{- x - 1}) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 4.2

Kombiniere $6$ und $\frac{4}{- x - 1}$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{6 \cdot 4}{- x - 1}) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{1^{2} - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2} - 7 x + 6}$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 6, - 1$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x \cdot 4 + 24}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 x + 24}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 24$ heraus.

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 24}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (6)$ heraus.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - x$ und $x - 1$ .

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Schritt 7.4.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (x)$ heraus.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (- 1 + x))}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 6) (x - 1)}$

Schritt 7.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) \cdot (- 1)}{x - 6}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + x$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{- 1 \cdot (1 + x)}{x - 6}$

Schritt 7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} (- \frac{1 + x}{x - 6})$

Schritt 7.5.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{1 + x}{x - 6}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $\frac{1 + x}{x - 6}$ mit $\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1}$ .

$- \frac{(1 + x) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Schritt 7.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + x$ und $- x - 1$ .

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Schritt 7.7.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- \frac{(- 1 (- 1) + x) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Schritt 7.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- \frac{(- 1 (- 1) - 1 (- x)) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Schritt 7.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - 1 (- x)$ heraus.

$- \frac{- 1 (- 1 - x) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Schritt 7.7.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{- 1 (- x - 1) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Schritt 7.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{- 1 (- x - 1) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Schritt 7.7.6

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 1 (4 (- x + 6))}{x - 6}$

Schritt 7.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 6$ und $x - 6$ .

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Schritt 7.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{- 1 (4 (- (x) + 6))}{x - 6}$

Schritt 7.8.2

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$- \frac{- 1 (4 (- (x) - 1 (- 6)))}{x - 6}$

Schritt 7.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 6)$ heraus.

$- \frac{- 1 (4 (- (x - 6)))}{x - 6}$

Schritt 7.8.4

Schreibe $- (x - 6)$ als $- 1 (x - 6)$ um.

$- \frac{- 1 (4 (- 1 (x - 6)))}{x - 6}$

Schritt 7.8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{- 1 \cdot 4 (- 1 (x - 6))}{x - 6}$

Schritt 7.8.6

Dividiere $- 1 \cdot 4 \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$- (- 1 \cdot 4 \cdot (- 1))$

Schritt 8

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4 \cdot (- 1))$ .

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- (- 4 \cdot - 1)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- 1 \cdot 4$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4$