Algebra Beispiele

$x^{- \frac{2}{3}} - 7 x^{- \frac{1}{3}} - 15 = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 7 x^{- \frac{1}{3}} - 15 = 0$

Schritt 1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 7 \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 15 = 0$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 7}{x^{\frac{1}{3}}} - 15 = 0$

Schritt 1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{x^{\frac{1}{3}}} - 15 = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}, 1, 1$

Schritt 2.2

Da $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}, 1, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.6

Das kgV von $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{x^{\frac{1}{3}}} - 15 = 0$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{x^{\frac{1}{3}}} - 15 = 0$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{7}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{7}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - \frac{7}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{x^{\frac{1}{3}}}$ in den Zähler.

$1 + \frac{- 7}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$1 + \frac{- 7}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 15 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{- 7}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 15 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$1 - 7 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 - 7 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{3}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$1 - 7 x^{\frac{1}{3}} - 15 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$

Schritt 4.2

Ersetze $x^{\frac{1}{3}}$ durch $u$ .

$1 - 7 u - 15 {(u)}^{2} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.1

Entferne die Klammern.

$1 - 7 u - 15 u^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3.3

Setze die Werte $a = - 15$ , $b = - 7$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 15 \cdot 1)}}{2 \cdot - 15}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.4.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 15 \cdot 1}}{2 \cdot - 15}$

Schritt 4.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 15 \cdot 1$ .

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Schritt 4.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 15$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 60 \cdot 1}}{2 \cdot - 15}$

Schritt 4.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $60$ mit $1$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 60}}{2 \cdot - 15}$

Schritt 4.3.4.1.3

Addiere $49$ und $60$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot - 15}$

Schritt 4.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 15$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{109}}{- 30}$

Schritt 4.3.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{7 \pm \sqrt{109}}{30}$

Schritt 4.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{7 + \sqrt{109}}{30}, - \frac{7 - \sqrt{109}}{30}$

Schritt 4.4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{7 + \sqrt{109}}{30}, - \frac{7 - \sqrt{109}}{30}$

Schritt 4.5

Löse nach $x^{\frac{1}{3}} = - \frac{7 + \sqrt{109}}{30}$ auf für $x$ .

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Schritt 4.5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{7 + \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{7 + \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{7 + \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- \frac{7 + \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- \frac{7 + \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{7 + \sqrt{109}}{30})}^{3}$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.5.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7 + \sqrt{109}}{30}$ an.

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{7 + \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.5.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7 + \sqrt{109}}{30}$ an.

$x = {(- 1)}^{3} \frac{{(7 + \sqrt{109})}^{3}}{30^{3}}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Berechne die Exponenten.

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Schritt 4.5.2.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - \frac{{(7 + \sqrt{109})}^{3}}{30^{3}}$

Schritt 4.5.2.2.1.2.2

Potenziere $30$ mit $3$ .

$x = - \frac{{(7 + \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x = - \frac{7^{3} + 3 \cdot 7^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 7 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.5.2.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.2.1.4.1.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$x = - \frac{343 + 3 \cdot 7^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 7 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = - \frac{343 + 3 \cdot 49 \sqrt{109} + 3 \cdot 7 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $49$ .

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 3 \cdot 7 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 21 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.5

Schreibe ${\sqrt{109}}^{2}$ als $109$ um.

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Schritt 4.5.2.2.1.4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{109}$ als $109^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 21 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 21 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 21 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 21 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 21 \cdot 109^{1} + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 21 \cdot 109 + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.6

Mutltipliziere $21$ mit $109$ .

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 2289 + {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.7

Schreibe ${\sqrt{109}}^{3}$ als $\sqrt{109^{3}}$ um.

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 2289 + \sqrt{109^{3}}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.8

Potenziere $109$ mit $3$ .

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 2289 + \sqrt{1295029}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.9

Schreibe $1295029$ als $109^{2} \cdot 109$ um.

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Schritt 4.5.2.2.1.4.1.9.1

Faktorisiere $11881$ aus $1295029$ heraus.

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 2289 + \sqrt{11881 (109)}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.9.2

Schreibe $11881$ als $109^{2}$ um.

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 2289 + \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - \frac{343 + 147 \sqrt{109} + 2289 + 109 \sqrt{109}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.5.2.2.1.4.2.1

Addiere $343$ und $2289$ .

$x = - \frac{2632 + 147 \sqrt{109} + 109 \sqrt{109}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.2.2

Addiere $147 \sqrt{109}$ und $109 \sqrt{109}$ .

$x = - \frac{2632 + 256 \sqrt{109}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2632 + 256 \sqrt{109}$ und $27000$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.4.2.3.1

Faktorisiere $8$ aus $2632$ heraus.

$x = - \frac{8 (329) + 256 \sqrt{109}}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.2.3.2

Faktorisiere $8$ aus $256 \sqrt{109}$ heraus.

$x = - \frac{8 (329) + 8 (32 \sqrt{109})}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.2.3.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (329) + 8 (32 \sqrt{109})$ heraus.

$x = - \frac{8 (329 + 32 \sqrt{109})}{27000}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.2.1.4.2.3.4.1

Faktorisiere $8$ aus $27000$ heraus.

$x = - \frac{8 (329 + 32 \sqrt{109})}{8 \cdot 3375}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{8 (329 + 32 \sqrt{109})}{8 \cdot 3375}$

Schritt 4.5.2.2.1.4.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{329 + 32 \sqrt{109}}{3375}$

Schritt 4.6

Löse nach $x^{\frac{1}{3}} = - \frac{7 - \sqrt{109}}{30}$ auf für $x$ .

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Schritt 4.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{7 - \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{7 - \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{7 - \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- \frac{7 - \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- \frac{7 - \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{7 - \sqrt{109}}{30})}^{3}$ .

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Schritt 4.6.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.6.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7 - \sqrt{109}}{30}$ an.

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{7 - \sqrt{109}}{30})}^{3}$

Schritt 4.6.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7 - \sqrt{109}}{30}$ an.

$x = {(- 1)}^{3} \frac{{(7 - \sqrt{109})}^{3}}{30^{3}}$

Schritt 4.6.2.2.1.2

Berechne die Exponenten.

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Schritt 4.6.2.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - \frac{{(7 - \sqrt{109})}^{3}}{30^{3}}$

Schritt 4.6.2.2.1.2.2

Potenziere $30$ mit $3$ .

$x = - \frac{{(7 - \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x = - \frac{7^{3} + 3 \cdot 7^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 7 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.6.2.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.2.2.1.4.1.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$x = - \frac{343 + 3 \cdot 7^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 7 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = - \frac{343 + 3 \cdot 49 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 7 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $49$ .

$x = - \frac{343 + 147 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 7 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $147$ .

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 3 \cdot 7 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 21 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{109}$ an.

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 21 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 21 (1 {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.8

Mutltipliziere ${\sqrt{109}}^{2}$ mit $1$ .

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 21 {\sqrt{109}}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.9

Schreibe ${\sqrt{109}}^{2}$ als $109$ um.

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Schritt 4.6.2.2.1.4.1.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{109}$ als $109^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 21 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 21 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 21 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.2.2.1.4.1.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 21 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 21 \cdot 109^{1} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.9.5

Berechne den Exponenten.

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 21 \cdot 109 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.10

Mutltipliziere $21$ mit $109$ .

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 2289 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{109}$ an.

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 2289 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 2289 - {\sqrt{109}}^{3}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.13

Schreibe ${\sqrt{109}}^{3}$ als $\sqrt{109^{3}}$ um.

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 2289 - \sqrt{109^{3}}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.14

Potenziere $109$ mit $3$ .

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 2289 - \sqrt{1295029}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.15

Schreibe $1295029$ als $109^{2} \cdot 109$ um.

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Schritt 4.6.2.2.1.4.1.15.1

Faktorisiere $11881$ aus $1295029$ heraus.

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 2289 - \sqrt{11881 (109)}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.15.2

Schreibe $11881$ als $109^{2}$ um.

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 2289 - \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 2289 - (109 \sqrt{109})}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.1.17

Mutltipliziere $109$ mit $- 1$ .

$x = - \frac{343 - 147 \sqrt{109} + 2289 - 109 \sqrt{109}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.6.2.2.1.4.2.1

Addiere $343$ und $2289$ .

$x = - \frac{2632 - 147 \sqrt{109} - 109 \sqrt{109}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.2.2

Subtrahiere $109 \sqrt{109}$ von $- 147 \sqrt{109}$ .

$x = - \frac{2632 - 256 \sqrt{109}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2632 - 256 \sqrt{109}$ und $27000$ .

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Schritt 4.6.2.2.1.4.2.3.1

Faktorisiere $8$ aus $2632$ heraus.

$x = - \frac{8 (329) - 256 \sqrt{109}}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.2.3.2

Faktorisiere $8$ aus $- 256 \sqrt{109}$ heraus.

$x = - \frac{8 (329) + 8 (- 32 \sqrt{109})}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.2.3.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (329) + 8 (- 32 \sqrt{109})$ heraus.

$x = - \frac{8 (329 - 32 \sqrt{109})}{27000}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.2.1.4.2.3.4.1

Faktorisiere $8$ aus $27000$ heraus.

$x = - \frac{8 (329 - 32 \sqrt{109})}{8 \cdot 3375}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{8 (329 - 32 \sqrt{109})}{8 \cdot 3375}$

Schritt 4.6.2.2.1.4.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{329 - 32 \sqrt{109}}{3375}$

Schritt 4.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = - \frac{329 + 32 \sqrt{109}}{3375}, - \frac{329 - 32 \sqrt{109}}{3375}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{329 + 32 \sqrt{109}}{3375}, - \frac{329 - 32 \sqrt{109}}{3375}$

Dezimalform:

$x = - 0.19647105 \dots, 0.00150809 \dots$