Algebra Beispiele

$2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache die linke Seite.

$2 \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \ln (16) + \ln (a + 7)$

Schritt 1.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (16)$ .

$2 \ln (a + 3) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache $2 \ln (a + 3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Schreibe $\ln (16)$ als $\ln (2^{4})$ um.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (2^{4})}{4} + \ln (a + 7)$

Schritt 3.1.1.2

Zerlege $\ln (2^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Schritt 3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Schritt 3.1.1.3.2

Dividiere $\ln (2)$ durch $1$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2) + \ln (a + 7)$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 (a + 7))$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 2 \cdot 7)$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 14)$

Schritt 4

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

${(a + 3)}^{2} = 2 a + 14$

Schritt 5

Löse nach $a$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(a + 3)}^{2} - 2 a = 14$

Schritt 5.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Schreibe ${(a + 3)}^{2}$ als $(a + 3) (a + 3)$ um.

$(a + 3) (a + 3) - 2 a = 14$

Schritt 5.1.2.2

Multipliziere $(a + 3) (a + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a (a + 3) + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Schritt 5.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Schritt 5.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Schritt 5.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Schritt 5.1.2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $a$ .

$a^{2} + 3 \cdot a + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Schritt 5.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$a^{2} + 3 a + 3 a + 9 - 2 a = 14$

Schritt 5.1.2.3.2

Addiere $3 a$ und $3 a$ .

$a^{2} + 6 a + 9 - 2 a = 14$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $2 a$ von $6 a$ .

$a^{2} + 4 a + 9 = 14$

Schritt 5.2

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} + 4 a + 9 - 14 = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $14$ von $9$ .

$a^{2} + 4 a - 5 = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere $a^{2} + 4 a - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 5.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(a - 1) (a + 5) = 0$

Schritt 5.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a - 1 = 0$

$a + 5 = 0$

Schritt 5.6

Setze $a - 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Setze $a - 1$ gleich $0$ .

$a - 1 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 1$

Schritt 5.7

Setze $a + 5$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1

Setze $a + 5$ gleich $0$ .

$a + 5 = 0$

Schritt 5.7.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - 5$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(a - 1) (a + 5) = 0$ wahr machen.

$a = 1, - 5$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$ nicht erfüllen.

$a = 1$