Algebra Beispiele

$(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1

Vereinfache $(x - 4) (3 x + 1)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.3

Multipliziere $(x - 4) (3 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x + 1) - 4 (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x) + x \cdot 1 - 4 (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x) + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$3 x^{2} + x - 12 x - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x - 12 x - 4 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $12 x$ von $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Schritt 2

Vereinfache $(2 x - 6) (x - 2) + 4$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere $(2 x - 6) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x (x - 2) - 6 (x - 2) + 4$

Schritt 2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 6 (x - 2) + 4$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Schritt 2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + 4$

Schritt 2.1.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 10 x + 12 + 4$

Schritt 2.2

Addiere $12$ und $4$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 10 x + 16$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x^{2} - 11 x - 4 - 2 x^{2} < - 10 x + 16$

Schritt 3.2

Addiere $10 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x^{2} - 11 x - 4 - 2 x^{2} + 10 x < 16$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$x^{2} - 11 x - 4 + 10 x < 16$

Schritt 3.4

Addiere $- 11 x$ und $10 x$ .

$x^{2} - x - 4 < 16$

Schritt 4

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - x - 4 = 16$

Schritt 5

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 4 - 16 = 0$

Schritt 6

Subtrahiere $16$ von $- 4$ .

$x^{2} - x - 20 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} - x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 9

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 10

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 4$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 6) - 4) (3 (- 6) + 1) < (2 (- 6) - 6) ((- 6) - 2) + 4$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $170$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $148$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 13.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) - 4) (3 (0) + 1) < (2 (0) - 6) ((0) - 2) + 4$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $- 4$ ist kleiner als die rechte Seite $16$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 13.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((8) - 4) (3 (8) + 1) < (2 (8) - 6) ((8) - 2) + 4$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $100$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $64$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 < x < 5$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 4 < x < 5$

Intervallschreibweise:

$(- 4, 5)$

Schritt 16