Algebra Beispiele

$\log (5 x) + \log (2 x) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (5 x (2 x)) = 1$

Schritt 1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log (5 \cdot (2 x \cdot x)) = 1$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x$ .

$\log (5 \cdot (2 (x \cdot x))) = 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (5 \cdot (2 x^{2})) = 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\log (10 x^{2}) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (10 x^{2}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 10 x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $10 x^{2} = 10^{1}$ um.

$10 x^{2} = 10$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x^{2} = 10^{1}$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x^{2} = 10^{1}$ durch $10$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{10^{1}}{10}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{10^{1}}{10}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{10^{1}}{10}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10^{1}$ und $10$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10^{1}$ heraus.

$x^{2} = \frac{10 \cdot 1}{10}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$x^{2} = \frac{10 \cdot 1}{10 (1)}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 1}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 1$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (5 x) + \log (2 x) = 1$ nicht erfüllen.

$x = 1$