Algebra Beispiele

${(a + b i)}^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(a + b i)}^{2}$ als $(a + b i) (a + b i)$ um.

$(a + b i) (a + b i) - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(a + b i) (a + b i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a (a + b i) + b i (a + b i) - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot a + a (b i) + b i (a + b i) - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot a + a (b i) + b i a + b i (b i) - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} + a (b i) + b i a + b i (b i) - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} + i a b + b i a + b i (b i) - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.1.3

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.3.1

Bewege $b$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b \cdot b i i - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.1.3.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} i i - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $b^{2} i i$ .

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Schritt 1.3.1.4.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} (i^{1} i) - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} (i^{1} i^{1}) - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} i^{1 + 1} - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} i^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} \cdot - 1 - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.1.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b^{2}$ .

$a^{2} + i a b + b i a - 1 \cdot b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.1.7

Schreibe $- 1 b^{2}$ als $- b^{2}$ um.

$a^{2} + i a b + b i a - b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Stelle $b$ und $a$ um.

$a^{2} + a b i + a b i - b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.3.3

Addiere $a b i$ und $a b i$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Schritt 1.4

Schreibe ${(a - b i)}^{2}$ als $(a - b i) (a - b i)$ um.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - ((a - b i) (a - b i))$

Schritt 1.5

Multipliziere $(a - b i) (a - b i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a (a - b i) - b i (a - b i))$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a \cdot a + a (- b i) - b i (a - b i))$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a \cdot a + a (- b i) - b i a - b i (- b i))$

Schritt 1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} + a (- b i) - b i a - b i (- b i))$

Schritt 1.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b i (- b i))$

Schritt 1.6.1.3

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.3.1

Bewege $b$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - (b \cdot b) i (- 1 i))$

Schritt 1.6.1.3.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b^{2} i (- 1 i))$

Schritt 1.6.1.4

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b^{2} i (- i))$

Schritt 1.6.1.5

Multipliziere $- b^{2} i (- i)$ .

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Schritt 1.6.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + 1 b^{2} i i)$

Schritt 1.6.1.5.2

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} i i)$

Schritt 1.6.1.5.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} (i^{1} i))$

Schritt 1.6.1.5.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} (i^{1} i^{1}))$

Schritt 1.6.1.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} i^{1 + 1})$

Schritt 1.6.1.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} i^{2})$

Schritt 1.6.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} \cdot - 1)$

Schritt 1.6.1.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b^{2}$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - 1 \cdot b^{2})$

Schritt 1.6.1.8

Schreibe $- 1 b^{2}$ als $- b^{2}$ um.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b^{2})$

Schritt 1.6.2

Bewege $b$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - a b i - 1 a b i - b^{2})$

Schritt 1.6.3

Subtrahiere $a b i$ von $- a b i$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - 2 a b i - b^{2})$

Schritt 1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} - (- 2 a b i) - - b^{2}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 (a b i) - - b^{2}$

Schritt 1.8.2

Multipliziere $- - b^{2}$ .

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Schritt 1.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 (a b i) + 1 b^{2}$

Schritt 1.8.2.2

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 (a b i) + b^{2}$

Schritt 1.9

Entferne die Klammern.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 a b i + b^{2}$

Schritt 2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 a b i + b^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$2 a b i - b^{2} + 0 + 2 a b i + b^{2}$

Schritt 2.1.2

Addiere $2 a b i - b^{2}$ und $0$ .

$2 a b i - b^{2} + 2 a b i + b^{2}$

Schritt 2.1.3

Addiere $- b^{2}$ und $b^{2}$ .

$2 a b i + 2 a b i + 0$

Schritt 2.1.4

Addiere $2 a b i + 2 a b i$ und $0$ .

$2 a b i + 2 a b i$

Schritt 2.2

Addiere $2 a b i$ und $2 a b i$ .

$4 a b i$