Algebra Beispiele

$f (x) = \ln (5 x - 1)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \ln (5 x - 1)$ als Gleichung.

$y = \ln (5 x - 1)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (5 y - 1)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (5 y - 1) = x$ um.

$\ln (5 y - 1) = x$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (5 y - 1)} = e^{x}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (5 y - 1) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 5 y - 1$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $5 y - 1 = e^{x}$ um.

$5 y - 1 = e^{x}$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = e^{x} + 1$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $5 y = e^{x} + 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = e^{x} + 1$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (5 x - 1)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (5 x - 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x - 1)) = \frac{e^{\ln (5 x - 1)}}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\ln (5 x - 1)) = \frac{e^{\ln (5 x - 1)} + 1}{5}$

Schritt 5.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (5 x - 1)) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x - 1)) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x - 1)) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\ln (5 x - 1)) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x - 1)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) - 1)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1)$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1)$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{1}{5}) - 1)$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{1}{5}) - 1)$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 1 - 1)$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x} + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 0)$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = x \ln (e)$

Schritt 5.3.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = x \cdot 1$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (5 x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} + \frac{1}{5}$