Algebra Beispiele

$\frac{4 x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 3}{x^{2} + 2 x - 3} \div \frac{2 x}{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{4 x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 3}{x^{2} + 2 x - 3} \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4 x}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{x + 3}{x^{2} + 2 x - 3} \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{4 x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x + 3}{x^{2} + 2 x - 3} \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4 x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x + 3}{(x - 1) (x + 3)} \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x + 3}{(x - 1) (x + 3)} \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{x - 1} \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{4 x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{x - 1}$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{4 x}{(x + 1) (x - 1)}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{4 x}{(x + 1) (x - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 5.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{4 x}{(x + 1) ({(x - 1)}^{1} (x - 1))} \cdot \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 5.3

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{4 x}{(x + 1) ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1})} \cdot \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x}{(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 x}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 x (2)}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \cdot 2}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{2 x}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}} (1 - x^{2})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{2}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$ mit $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 (1^{2} - x^{2})}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{2 (1 + x) (1 - x)}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + x$ und $x + 1$ .

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Schritt 8.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (x + 1) (1 - x)}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 1) (1 - x)}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (1 - x)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - x$ und ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 8.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2 (- 1 (- 1) - x)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 1) - (x))}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (x)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + x))}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.5

Faktorisiere $x - 1$ aus $2 (- 1 (x - 1))$ heraus.

$\frac{(x - 1) (2 \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (2 \cdot (- 1))}{(x - 1) (x - 1)}$

Schritt 8.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (2 \cdot (- 1))}{(x - 1) (x - 1)}$

Schritt 8.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x - 1}$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{x - 1}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x - 1}$