Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{3}{4} \sqrt{x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3}{4} \sqrt{x + 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{3}{4} \sqrt{x + 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1} = x$ um.

$\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1}) = \frac{4}{3} x$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{y + 1})$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\sqrt{y + 1}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{y + 1}}{4} = \frac{4}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{y + 1}}{4} = \frac{4}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 \sqrt{y + 1}) = \frac{4}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{y + 1}$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (\sqrt{y + 1})) = \frac{4}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 \sqrt{y + 1}) = \frac{4}{3} x$

Schritt 3.3.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{y + 1} = \frac{4}{3} x$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x$ .

$\sqrt{y + 1} = \frac{4 x}{3}$

Schritt 3.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 1}$ als ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 1)}^{1} = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

$y + 1 = {(\frac{4 x}{3})}^{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 x}{3}$ an.

$y + 1 = \frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$y + 1 = \frac{4^{2} x^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.5.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y + 1 = \frac{16 x^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.5.3.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y + 1 = \frac{16 x^{2}}{9}$

Schritt 3.6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 {(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1})}^{2}}{9} - 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}$ an.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 {(\frac{3}{4})}^{2} \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{4^{2}}) \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {\sqrt{x + 1}}^{2}}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ als $x + 1$ um.

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Schritt 5.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.5.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{16 (\frac{9}{16}) \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.3.1.6.1

Kombiniere $16$ und $\frac{9}{16}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{\frac{16 \cdot 9}{16} \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.6.2

Mutltipliziere $16$ mit $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{\frac{144}{16} \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.1.7

Dividiere $144$ durch $16$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{9 \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = \frac{9 \cdot (x + 1)}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{(\frac{16 x^{2}}{9} - 1) + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} + 0}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\frac{16 x^{2}}{9}$ und $0$ .

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9}}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{{(4 x)}^{2}}{9}}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.3.6

Schreibe $\frac{{(4 x)}^{2}}{3^{2}}$ als ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ um.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{{(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.9.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x))$

Schritt 5.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Schritt 5.3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{16 x^{2}}{9} - 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{16 x^{2}}{9} - 1$