Algebra Beispiele

$\frac{x - 7}{x^{2} - 16} - \frac{x - 1}{16 - x^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x - 7}{x^{2} - 4^{2}} - \frac{x - 1}{16 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{16 - x^{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{4^{2} - x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = x$ .

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(4 + x) (4 - x)}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (4 - x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (- 4) - x)}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (- 4) - (x))}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 4) - (x)$ heraus.

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (- 4 + x))}$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (x - 4))}$

Schritt 3

Um $\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (x - 4))}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 4) (x - 4) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(x - 7) \cdot - 1}{(x + 4) (x - 4) \cdot - 1} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (x - 4))}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $(x + 4) (x - 4) \cdot - 1$ um.

$\frac{(x - 7) \cdot - 1}{- (x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (x - 4))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 4) (- 1 (x - 4))$ um.

$\frac{(x - 7) \cdot - 1}{- (x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 7) \cdot - 1 - (x - 1)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot - 1 - 7 \cdot - 1 - (x - 1)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x - 7 \cdot - 1 - (x - 1)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot x + 7 - (x - 1)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- x + 7 - (x - 1)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + 7 - x - - 1}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- x + 7 - x + 1}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{- 2 x + 7 + 1}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.8

Addiere $7$ und $1$ .

$\frac{- 2 x + 8}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.9

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 8$ heraus.

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Schritt 6.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 8}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.9.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (4)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 4)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 4$ und $x - 4$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) + 4)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{2 (- (x - 4))}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 7.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{- (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 7.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{- (x + 4)}$

Schritt 7.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{2}{x + 4}$