Algebra Beispiele

$f (x) = {(4 x)}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(4 x)}^{\frac{5}{3}}$ als Gleichung.

$y = {(4 x)}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(4 y)}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(4 y)}^{\frac{5}{3}} = x$ um.

${(4 y)}^{\frac{5}{3}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(4 y)}^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${({(4 y)}^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 y)}^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y)}^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 y)}^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 y)}^{1} = x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache.

$4 y = x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{\frac{3}{5}}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{\frac{3}{5}}$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(4 x)}^{\frac{5}{3}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(4 x)}^{\frac{5}{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(4 x)}^{\frac{5}{3}}) = \frac{{({(4 x)}^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x)}^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(4 x)}^{\frac{5}{3}}) = \frac{{(4 x)}^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}}}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(4 x)}^{\frac{5}{3}}) = \frac{{(4 x)}^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}}}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(4 x)}^{\frac{5}{3}}) = \frac{{(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4}$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(4 x)}^{\frac{5}{3}}) = \frac{{(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(4 x)}^{\frac{5}{3}}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(4 x)}^{\frac{5}{3}}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(4 x)}^{\frac{5}{3}}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({(4 x)}^{\frac{5}{3}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}) = {(4 (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}))}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}) = {(4 (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}))}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}) = {(x^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}) = x^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}) = x^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}}$

Schritt 5.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(4 x)}^{\frac{5}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{5}}}{4}$