Algebra Beispiele

$\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 4} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 2

Um $\frac{x - 2}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{x + 2}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 2) (x - 2) + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2) + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 4.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (- 2) - x}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (- 2) - (x)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (- 2 + x)}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$

Schritt 6

Um $\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$

Schritt 7

Um $- \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x - 2) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{(x + 2) (x - 2) \cdot - 1} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{(x + 2) (x - 2) \cdot - 1} - \frac{(x + 2) (x + 2)}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Schritt 8.3

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (x - 2) \cdot - 1$ um.

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{- (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x + 2)}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Schritt 8.4

Stelle die Faktoren von $- 1 (x - 2) (x + 2)$ um.

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{- (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \cdot - 1 - 4 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2} + 4 x + 5 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2} + 4 x - 5 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 + (- x - 1 \cdot 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 + (- x - 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.6

Multipliziere $(- x - 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x (x + 2) - 2 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x \cdot x - x \cdot 2 - 2 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x \cdot x - x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - (x \cdot x) - x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - 2 x - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.7.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - 4 x - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.8

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x - 5 - 4 x - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.9

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 0 - 5 - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.10

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 5 - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 10.11

Subtrahiere $4$ von $- 5$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 9}{- (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- \frac{- (2 x^{2}) - 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.3

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$- \frac{- (2 x^{2}) - 1 (9)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - 1 (9)$ heraus.

$- \frac{- (2 x^{2} + 9)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.5.1

Schreibe $- (2 x^{2} + 9)$ als $- 1 (2 x^{2} + 9)$ um.

$- \frac{- 1 (2 x^{2} + 9)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 11.5.4

Mutltipliziere $\frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$