Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{3 x^{3} + 67} = - 5$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{3 x^{3} + 67}}^{3} = {(- 5)}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 x^{3} + 67}$ als ${(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 5)}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 5)}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 5)}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x^{3} + 67)}^{1} = {(- 5)}^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$3 x^{3} + 67 = {(- 5)}^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$3 x^{3} + 67 = - 125$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $67$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{3} = - 125 - 67$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $67$ von $- 125$ .

$3 x^{3} = - 192$

Schritt 3.2

Addiere $192$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{3} + 192 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} + 192$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$3 (x^{3}) + 192 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $192$ heraus.

$3 x^{3} + 3 \cdot 64 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} + 3 \cdot 64$ heraus.

$3 (x^{3} + 64) = 0$

Schritt 3.3.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$3 (x^{3} + 4^{3}) = 0$

Schritt 3.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$3 ((x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$3 ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2})) = 0$

Schritt 3.3.4.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$3 ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)) = 0$

Schritt 3.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.6

Setze $x^{2} - 4 x + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x^{2} - 4 x + 16$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 3.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 3.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$