Algebra Beispiele

$(y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2}) - (y^{2} + 8 y + 16)$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{2})}^{2}$ um.

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Schritt 2.2

Schreibe $16 y^{2}$ als ${(4 y)}^{2}$ um.

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Schritt 2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Schritt 2.4

Schreibe das Polynom neu.

${(y^{2})}^{2} + 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Schritt 2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = y^{2}$ und $b = 4 y$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Schritt 3

Schreibe $y^{2} + 8 y + 16$ als ${(y + 4)}^{2}$ um.

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Schritt 3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 4^{2})$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 y = 2 \cdot y \cdot 4$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^{2})$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 4$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - {(y + 4)}^{2}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y^{2} + 4 y$ und $b = y + 4$ .

$(y^{2} + 4 y + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$((y^{2} + 4 y) + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Schritt 5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(y (y + 4) + 1 (y + 4)) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Schritt 5.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y + 4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 1 \cdot 4)$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 4)$

Schritt 5.5

Subtrahiere $y$ von $4 y$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 3 y - 4)$

Schritt 5.6

Faktorisiere.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $y^{2} + 3 y - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.6.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 5.6.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y + 4) (y + 1) ((y - 1) (y + 4))$

Schritt 5.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(y + 4) (y + 1) (y - 1) (y + 4)$

Schritt 5.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.7.1

Potenziere $y + 4$ mit $1$ .

${(y + 4)}^{1} (y + 4) (y + 1) (y - 1)$

Schritt 5.7.2

Potenziere $y + 4$ mit $1$ .

${(y + 4)}^{1} {(y + 4)}^{1} (y + 1) (y - 1)$

Schritt 5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(y + 4)}^{1 + 1} (y + 1) (y - 1)$

Schritt 5.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(y + 4)}^{2} (y + 1) (y - 1)$