Algebra Beispiele

$h (x) = - \frac{2}{x - 1} - 3$

Schritt 1

Schreibe $h (x) = - \frac{2}{x - 1} - 3$ als Gleichung.

$y = - \frac{2}{x - 1} - 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{2}{y - 1} - 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{2}{y - 1} - 3 = x$ um.

$- \frac{2}{y - 1} - 3 = x$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{2}{y - 1} = x + 3$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 1, 1, 1$

Schritt 3.3.2

Entferne die Klammern.

$y - 1, 1, 1$

Schritt 3.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 1$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{2}{y - 1} = x + 3$ mit $y - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{2}{y - 1} = x + 3$ mit $y - 1$ .

$- \frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + 3 (y - 1)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{y - 1}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + 3 (y - 1)$

Schritt 3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + 3 (y - 1)$

Schritt 3.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 = x (y - 1) + 3 (y - 1)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 = x y + x \cdot - 1 + 3 (y - 1)$

Schritt 3.4.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 = x y - 1 \cdot x + 3 (y - 1)$

Schritt 3.4.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 2 = x y - x + 3 (y - 1)$

Schritt 3.4.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 = x y - x + 3 y + 3 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 2 = x y - x + 3 y - 3$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y - x + 3 y - 3 = - 2$ um.

$x y - x + 3 y - 3 = - 2$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y + 3 y - 3 = - 2 + x$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y + 3 y = - 2 + x + 3$

Schritt 3.5.2.3

Addiere $- 2$ und $3$ .

$x y + 3 y = x + 1$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $x y + 3 y$ heraus.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x + 3 y = x + 1$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$y x + y \cdot 3 = x + 1$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot 3$ heraus.

$y (x + 3) = x + 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) = x + 1$ durch $x + 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) = x + 1$ durch $x + 3$ .

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{x + 3}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{x + 3}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{x + 3}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x + 1}{x + 3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $h^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$h^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $h^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$ die Umkehrfunktion von $h (x) = - \frac{2}{x - 1} - 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $h^{- 1} (h (x)) = x$ ist und $h (h^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $h^{- 1} (h (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h^{- 1} (h (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $h$ in $h^{- 1}$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{(- \frac{2}{x - 1} - 3) + 1}{(- \frac{2}{x - 1} - 3) + 3}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $x - 1$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{- \frac{2}{x - 1} - 3 + 1}{- \frac{2}{x - 1} - 3 + 3}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{- \frac{2}{x - 1} - 3 + 1}{- \frac{2}{x - 1} - 3 + 3}$

Schritt 5.2.3.2

Kombinieren.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1} - 3 + 1)}{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1} - 3 + 3)}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x - 1}$ in den Zähler.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{(x - 1) (\frac{- 2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{(x - 1) (\frac{- 2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x - 1}$ in den Zähler.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{- 2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{- 2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Stelle $x - 1$ und $1$ um.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 - 3 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.6.2

Addiere $- 3 \cdot (x - 1)$ und $1 \cdot (x - 1)$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 - 2 \cdot (x - 1)}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.6.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 - 2 \cdot (x - 1)$ heraus.

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Schritt 5.2.6.3.1

Stelle $- 2$ und $- 2 \cdot (x - 1)$ um.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 (x - 1) - 2}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.6.3.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 (x - 1) - 2 \cdot 1}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.6.3.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x - 1) - 2 (1)$ heraus.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 (x - 1 + 1)}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.6.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 (x + 0)}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.6.5

Addiere $x$ und $0$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.7.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 - 3 \cdot x + 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Schritt 5.2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 - 3 x + 3 + x \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 5.2.7.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 - 3 x + 3 + 3 \cdot x - 1 \cdot 3}$

Schritt 5.2.7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 - 3 x + 3 + 3 \cdot x - 3}$

Schritt 5.2.7.7

Addiere $- 2$ und $3$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 3 x + 1 + 3 x - 3}$

Schritt 5.2.7.8

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{0 + 1 - 3}$

Schritt 5.2.7.9

Addiere $0$ und $1$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{1 - 3}$

Schritt 5.2.7.10

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2}$

Schritt 5.2.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $h (h^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$h (h^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $h (\frac{x + 1}{x + 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $h^{- 1}$ in $h$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{(\frac{x + 1}{x + 3}) - 1} - 3$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{x + 1}{x + 3} - 1 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}} - 3$

Schritt 5.3.3.1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{x + 1}{x + 3} + \frac{- (x + 3)}{x + 3}} - 3$

Schritt 5.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{x + 1 - (x + 3)}{x + 3}} - 3$

Schritt 5.3.3.1.4

Schreibe $\frac{x + 1 - (x + 3)}{x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{x + 1 - x - 1 \cdot 3}{x + 3}} - 3$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{x + 1 - x - 3}{x + 3}} - 3$

Schritt 5.3.3.1.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{0 + 1 - 3}{x + 3}} - 3$

Schritt 5.3.3.1.4.4

Addiere $0$ und $1$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{1 - 3}{x + 3}} - 3$

Schritt 5.3.3.1.4.5

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{- 2}{x + 3}} - 3$

Schritt 5.3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{- \frac{2}{x + 3}} - 3$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - (2 (- \frac{x + 3}{2})) - 3$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x + 3}{2}$ in den Zähler.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - (2 (\frac{- (x + 3)}{2})) - 3$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - (2 (\frac{- (x + 3)}{2})) - 3$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = (x + 3) - 3$

Schritt 5.3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - (- x - 1 \cdot 3) - 3$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - (- x - 3) - 3$

Schritt 5.3.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = x + 3 - 3$

Schritt 5.3.3.7

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = 1 x + 3 - 3$

Schritt 5.3.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = x + 3 - 3$

Schritt 5.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = x + 3 - 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = x$

Schritt 5.4

Da $h^{- 1} (h (x)) = x$ und $h (h^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $h^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $h (x) = - \frac{2}{x - 1} - 3$ .

$h^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$