Algebra Beispiele

$\frac{4 - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{4 - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2^{2} - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - x$ und $x - 2$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2) - x)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2) - (x))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2 + x))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(2 + x) (- 1 (x - 2))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 + x) (- 1 (x - 2))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.1.6

Dividiere $(2 + x) \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$(2 + x) \cdot (- 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot - 1 + x \cdot - 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 + x \cdot - 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$(- 2 - 1 \cdot x) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(- 2 - x) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 2 - x$ mit $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2}$ .

$\frac{(- 2 - x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 - x$ und $x + 2$ .

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Schritt 4.4.2.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{(- 1 (2) - x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- 1 (2) - (x)) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.4.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (2 + x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.4.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (x + 2) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x + 2) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.4.2.6

Dividiere $- 1 ((x + 5) (x - 5))$ durch $1$ .

$- 1 ((x + 5) (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.4.3

Schreibe $- 1 ((x + 5) (x - 5))$ als $- ((x + 5) (x - 5))$ um.

$- ((x + 5) (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 5

Multipliziere $(x + 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x (x - 5) + 5 (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Schritt 6.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 5$ und $5 x$ neu an.

$- (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 6.1.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$- (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 6.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$- (x \cdot x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- (x^{2} + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$- (x^{2} - 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 6.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- x^{2} - - 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 25$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 7

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Schritt 7.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 7.3

Schreibe das Polynom neu.

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Schritt 7.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 5$ und ${(x + 5)}^{2}$ .

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Schritt 8.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 8.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $x + 5$ aus ${(x + 5)}^{2}$ heraus.

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{(x + 5) (x + 5)}$

Schritt 8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{(x + 5) (x + 5)}$

Schritt 8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(- x^{2} + 25) \frac{1}{x + 5}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- x^{2} + 25$ mit $\frac{1}{x + 5}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{x + 5}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{x + 5}$

Schritt 9.2

Stelle $- x^{2}$ und $5^{2}$ um.

$\frac{5^{2} - x^{2}}{x + 5}$

Schritt 9.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 + x$ und $x + 5$ .

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Schritt 10.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{x + 5}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{x + 5}$

Schritt 10.3

Dividiere $5 - x$ durch $1$ .

$5 - x$