Algebra Beispiele

$\frac{6 x^{3} - 600 x}{x^{2} - 18 x + 80} \cdot \frac{4 x}{x^{3} - 64 x} \div \frac{x + 10}{x^{3} - 64 x}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{6 x^{3} - 600 x}{x^{2} - 18 x + 80} \cdot \frac{4 x}{x^{3} - 64 x} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3} - 600 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$\frac{6 x (x^{2}) - 600 x}{x^{2} - 18 x + 80} \cdot \frac{4 x}{x^{3} - 64 x} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $6 x$ aus $- 600 x$ heraus.

$\frac{6 x (x^{2}) + 6 x (- 100)}{x^{2} - 18 x + 80} \cdot \frac{4 x}{x^{3} - 64 x} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{2}) + 6 x (- 100)$ heraus.

$\frac{6 x (x^{2} - 100)}{x^{2} - 18 x + 80} \cdot \frac{4 x}{x^{3} - 64 x} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 2.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{6 x (x^{2} - 10^{2})}{x^{2} - 18 x + 80} \cdot \frac{4 x}{x^{3} - 64 x} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$\frac{6 x (x + 10) (x - 10)}{x^{2} - 18 x + 80} \cdot \frac{4 x}{x^{3} - 64 x} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} - 18 x + 80$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $80$ und deren Summe $- 18$ ist.

$- 10, - 8$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 x (x + 10) (x - 10)}{(x - 10) (x - 8)} \cdot \frac{4 x}{x^{3} - 64 x} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 64 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{6 x (x + 10) (x - 10)}{(x - 10) (x - 8)} \cdot \frac{4 x}{x \cdot x^{2} - 64 x} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 64 x$ heraus.

$\frac{6 x (x + 10) (x - 10)}{(x - 10) (x - 8)} \cdot \frac{4 x}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 64} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 64$ heraus.

$\frac{6 x (x + 10) (x - 10)}{(x - 10) (x - 8)} \cdot \frac{4 x}{x (x^{2} - 64)} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{6 x (x + 10) (x - 10)}{(x - 10) (x - 8)} \cdot \frac{4 x}{x (x^{2} - 8^{2})} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 8$ .

$\frac{6 x (x + 10) (x - 10)}{(x - 10) (x - 8)} \cdot \frac{4 x}{x (x + 8) (x - 8)} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x (x + 10) (x - 10)$ heraus.

$\frac{x ((6 (x + 10)) (x - 10))}{(x - 10) (x - 8)} \cdot \frac{4 x}{x (x + 8) (x - 8)} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x (x + 8) (x - 8)$ heraus.

$\frac{x ((6 (x + 10)) (x - 10))}{(x - 10) (x - 8)} \cdot \frac{4 x}{x ((x + 8) (x - 8))} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x ((6 (x + 10)) (x - 10))}{(x - 10) (x - 8)} \cdot \frac{4 x}{x ((x + 8) (x - 8))} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(6 (x + 10)) (x - 10)}{(x - 10) (x - 8)} \cdot \frac{4 x}{(x + 8) (x - 8)} \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{(6 (x + 10)) (x - 10)}{(x - 10) (x - 8)}$ mit $\frac{4 x}{(x + 8) (x - 8)}$ .

$\frac{(6 (x + 10)) (x - 10) (4 x)}{(x - 10) (x - 8) ((x + 8) (x - 8))} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{24 (x + 10) (x - 10) x}{(x - 10) (x - 8) ((x + 8) (x - 8))} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 6

Potenziere $x - 8$ mit $1$ .

$\frac{24 (x + 10) (x - 10) x}{(x - 10) ({(x - 8)}^{1} (x - 8)) (x + 8)} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 7

Potenziere $x - 8$ mit $1$ .

$\frac{24 (x + 10) (x - 10) x}{(x - 10) ({(x - 8)}^{1} {(x - 8)}^{1}) (x + 8)} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{24 (x + 10) (x - 10) x}{(x - 10) {(x - 8)}^{1 + 1} (x + 8)} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{24 (x + 10) (x - 10) x}{(x - 10) {(x - 8)}^{2} (x + 8)} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $x + 10$ aus $24 (x + 10) (x - 10) x$ heraus.

$\frac{(x + 10) ((24 (x - 10)) x)}{(x - 10) {(x - 8)}^{2} (x + 8)} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 10) ((24 (x - 10)) x)}{(x - 10) {(x - 8)}^{2} (x + 8)} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x + 10}$

Schritt 9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(24 (x - 10)) x}{(x - 10) {(x - 8)}^{2} (x + 8)} (x^{3} - 64 x)$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 10$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 (x - 10) x}{(x - 10) {(x - 8)}^{2} (x + 8)} (x^{3} - 64 x)$

Schritt 9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(24) x}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)} (x^{3} - 64 x)$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $\frac{24 x}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$ mit $x^{3} - 64 x$ .

$\frac{24 x (x^{3} - 64 x)}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 64 x$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{24 x (x \cdot x^{2} - 64 x)}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 64 x$ heraus.

$\frac{24 x (x \cdot x^{2} + x \cdot - 64)}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 64$ heraus.

$\frac{24 x (x (x^{2} - 64))}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 10.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{24 x (x (x^{2} - 8^{2}))}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 10.3

Faktorisiere.

$\frac{24 x \cdot x (x + 8) (x - 8)}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 10.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 10.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{24 (x^{1} x) (x + 8) (x - 8)}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 10.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{24 (x^{1} x^{1}) (x + 8) (x - 8)}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 10.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{24 x^{1 + 1} (x + 8) (x - 8)}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 10.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{24 x^{2} (x + 8) (x - 8)}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 8$ .

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Schritt 11.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 x^{2} (x + 8) (x - 8)}{{(x - 8)}^{2} (x + 8)}$

Schritt 11.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{24 x^{2} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 8$ und ${(x - 8)}^{2}$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $x - 8$ aus $24 x^{2} (x - 8)$ heraus.

$\frac{(x - 8) (24 x^{2})}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 11.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.1

Faktorisiere $x - 8$ aus ${(x - 8)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 8) (24 x^{2})}{(x - 8) (x - 8)}$

Schritt 11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 8) (24 x^{2})}{(x - 8) (x - 8)}$

Schritt 11.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{24 x^{2}}{x - 8}$