Algebra Beispiele

$2^{x} = \frac{4^{x^{3}}}{8^{x^{2}}}$

Schritt 1

Bringe $8^{x^{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$2^{x} = 4^{x^{3}} \cdot 8^{- x^{2}}$

Schritt 2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2^{x} = {(2^{2})}^{x^{3}} \cdot 8^{- x^{2}}$

Schritt 3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot 8^{- x^{2}}$

Schritt 4

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot {(2^{3})}^{- x^{2}}$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{- x^{2}}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot 2^{3 (- x^{2})}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot 2^{- 3 x^{2}}$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{x} = 2^{2 x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 7

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2 x^{3} - 3 x^{2}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{3} - 3 x^{2} = x$

Schritt 8.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - x = 0$

Schritt 8.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3} - 3 x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x (2 x^{2}) - 3 x^{2} - x = 0$

Schritt 8.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x (2 x^{2}) + x (- 3 x) - x = 0$

Schritt 8.3.3

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x (2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 1 = 0$

Schritt 8.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2}) + x (- 3 x)$ heraus.

$x (2 x^{2} - 3 x) + x \cdot - 1 = 0$

Schritt 8.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2} - 3 x) + x \cdot - 1$ heraus.

$x (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 8.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Schritt 8.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 8.6

Setze $2 x^{2} - 3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.6.1

Setze $2 x^{2} - 3 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Schritt 8.6.2

Löse $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.6.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 3$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.6.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 8.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.6.2.3.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 8.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 8.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Dezimalform:

$x = 0, 1.78077640 \dots, - 0.28077640 \dots$