Algebra Beispiele

$x^{4} - 9 x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - 9 x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - 9 x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 + 4 x + 12$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 9) + 4 x + 12$

Schritt 3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{2} (x^{2} - 3^{2}) + 4 x + 12$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x^{2} ((x + 3) (x - 3)) + 4 x + 12$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) + 4 x + 12$

Schritt 5

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 12$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) + 4 (x) + 12$

Schritt 5.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) + 4 x + 4 \cdot 3$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 3$ heraus.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) + 4 (x + 3)$

Schritt 6

Faktorisiere $x + 3$ aus $x^{2} (x + 3) (x - 3) + 4 (x + 3)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $x^{2} (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x^{2} (x - 3)) + 4 (x + 3)$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x + 3$ aus $4 (x + 3)$ heraus.

$(x + 3) (x^{2} (x - 3)) + (x + 3) \cdot 4$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x + 3$ aus $(x + 3) (x^{2} (x - 3)) + (x + 3) \cdot 4$ heraus.

$(x + 3) (x^{2} (x - 3) + 4)$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 3) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 4)$

Schritt 8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 3) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 3 + 4)$

Schritt 8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 3) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 3 + 4)$

Schritt 8.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x + 3) (x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 4)$

Schritt 9

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} + 4)$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 10.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 10.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 10.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 10.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 10.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 10.1.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Schritt 10.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Schritt 10.1.1.3.5

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- 4 + 4$

Schritt 10.1.1.3.6

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 10.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Schritt 10.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ durch $x + 1$ .

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Schritt 10.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 10.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Schritt 10.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 10.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 10.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Schritt 10.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 10.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 10.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 10.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 10.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Schritt 10.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Schritt 10.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Schritt 10.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Schritt 10.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x + 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Schritt 10.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Schritt 10.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 10.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 3) ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 4))$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 10.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 3) ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2}))$

Schritt 10.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 10.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 3) ((x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}))$

Schritt 10.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 3) ((x + 1) {(x - 2)}^{2})$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x + 1) {(x - 2)}^{2}$