Algebra Beispiele

$\sqrt[5]{x^{4}} - 3 \sqrt[5]{x^{2}} = 4$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x^{4}}$ als $x^{\frac{4}{5}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{4}{5}} - 3 \sqrt[5]{x^{2}} = 4$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{5}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{4}{5}} - 3 x^{\frac{2}{5}} = 4$

Schritt 2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{2}{5}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{2} - 3 x^{\frac{2}{5}} - 4$

Schritt 3

Ersetze $x^{\frac{2}{5}}$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - 3 u - 4 = 0$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Entferne die Klammern.

$u^{2} - 3 u - 4 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $u^{2} - 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 1) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 4.4

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 4.5

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 4) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 4, - 1$

Schritt 5

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{2}{5}} = 4, - 1$

Schritt 6

Löse nach $x^{\frac{2}{5}} = 4$ auf für $x$ .

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Schritt 6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $\pm 4^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 2^{5}$

Schritt 6.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$x = \pm 32$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 32$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 32$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 32, - 32$

Schritt 7

Löse nach $x^{\frac{2}{5}} = - 1$ auf für $x$ .

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Schritt 7.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 7.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 7.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 7.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 7.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 7.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $\pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{5}}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(- 1)}^{5}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 7.2.2.1.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 7.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 7.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 32, - 32, i, - i$